Question

17．已知，如图，抛物线y=-x²+bx+c经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可；
（2）设M的坐标为（x，y），由△ACM与△ABC的面积相等可得到|y|=3，将y=3或y=-3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而得到点M的坐标；
（3）先利用配方法求得点D的坐标，当∠DNA=90°时，DN⊥OA，可得到点N的坐标，从而得到AN=2，然后再求得AD的长；当∠N′DA=90°时，依据sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的长，从而可得到N′的解析式．

解答 解：（1）将x=0代入AB的解析式得：y=3，
∴B（0，3）．
将y=0代入AB的解析式得：-x+3=0，解得x=3，
A（3，0）．
将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）设M的坐标为（x，y）．
∵△ACM与△ABC的面积相等，
∴$\frac{1}{2}$AC•|y|=$\frac{1}{2}$AB•OB．
∴|y|=OB=3．
当y=3时，-x²+2x+3=3，解得x=0（舍去）或x=2，
∴M（2，3）．
当y=-3时，-x²+2x+3=3，解得：x=1+$\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$．
∴M（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）．
综上所述点M的坐标为（2，3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）．

（3）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
①当∠DNA=90°时，如图所示：

∵∠DNA=90°时，
∴DN⊥OA．
又∵D（1，4）
∴B（1，0）．
∴AN=2．
∵DN=4，AN=2，
∴AD=2$\sqrt{5}$．
②当∠N′DA=90°时，则DN′A=∠NDA．
∴$\frac{AD}{AN′}$=$\frac{AN}{AD}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{AN′}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得：AN′=10．
∵A（3，0），
∴N′（-7，0）．
综上所述点N的坐标为（1，0）或（-7，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的应用，求得点A和点B的坐标是解答问题（1）的关键，求得点M的纵坐标是解答问题（2）的关键，求得AN′的长是解答问题（3）的关键．