Question

如图，在平面直角坐标系中，A（-1，0）、B（0，2）且Rt△AOB≌Rt△CDA，抛物线y=ax²+ax-2经过点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是x轴上一点，且PC⊥PB，求P点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在两点E、F，使四边形ABEF是正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0）、B（0，2）且Rt△AOB≌Rt△CDA，
∴OA=1，AD=BO=2，
∴OD=AO+AD=2+1=3，
∵∠D=90°，
∴CD⊥OD
∴CD=1，
∴C点坐标为（-3，1），
∵抛物线经过点C，
∴1=a（-3）²+a（-3）-2，
∴a=，
∴抛物线的解析式为y=x²+x-2；

（2）设OP=x，
∵Rt△AOB≌Rt△CDA，
∴∠CAD=∠ABO，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠CAB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∴BC==，
∵PC⊥PB，
∴∠CPB=90°，
∴△BPC是直角三角形，
∴PB²+PC²=BC²，
∵PB²=OP²+BO²，PC²=CD²+DP²，
∴OP²+BO²+CD²+DP²=BC²，
即x²+2²+1²+（3-x）²=10，
解得：x=1或2，
由题意可知：P在x的负半轴，
∴P的坐标为（-1，0）或（-2，0）；
（3）存在，
在抛物线上存在点E、F，使四边形ABEF是正方形．
以AB为边在AB的右侧作正方形ABEF，过E作EH⊥OB于H，FG⊥x轴于G，可证△EHB≌△AFG≌△BAO，
∴HE=AG=BO=2，BH=FG=AO=1，
∴E点坐标为（2，1），F点坐标为（1，-1）．
由（1）抛物线y=x²+x-2，当x=2时，y=1；当x=1时，y=-1．
∴E、F在抛物线上．
故在抛物线上存在点E（2，1）、F（1，-1），使四边形ABPQ是正方形．
分析：（1）已知Rt△AOB≌Rt△CDA，因此OB=AD=2，OA=CD=1，据此可求出C点坐标，然后将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）连接BC，点P是x轴上一点，则设OP=x，若PC⊥PB则∠CPB=90°，所以三角形BPC是直角三角形，由勾股定理可得PC²+PB²=BC²，求出OP的值进而得到P的坐标；
（3）存在，可以AB为边在抛物线的右侧作正方形ABEF，过E作EH⊥y轴，过F作FG垂直x轴于G，不难得出三角形ABO和三角形BHE和三角形AFG都全等，据此可求出E，F的坐标，然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出E、F是否在抛物线上．
点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点．综合性强，涉及的知识点多，难度较大．