Question

如图：在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，若

EC

AB

=

1

3

，AD=4厘米，则CF=

 

厘米，S_△FEC：S_□ABCD=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：由平行四边形中CD∥AB，则∠FEC=∠FAB，∠FCE=∠FBA，可知△FEC∽△FAB，从而得到相似比FE：AE=1：2，又由AD∥BC，所以∠EAD=∠ECF，∠EDA=∠ECF，可知△ADE∽△FCE，从而得到CF：AD=FE：EA，所以可以得到CF=2．由△FEC∽△FAB，△ADE∽△FCE，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可以得到S_△FEC：S_□ABCD的值．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠FEC=∠FAB，∠FCE=∠FBA，
∴△FEC∽△FAB，
∴EC：AB=FE：AF=1：3，
∵AF=EF+AE，
∴FE：AE=1：2，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠ECF，∠EDA=∠ECF，
∴△ADE∽△FCE，
∴CF：AD=FE：EA，
∵AD=4厘米，
∴CF=2厘米．
由△FEC∽△FAB，EC：AB=FE：AF=1：3，
∴S_△FEC：S_△ABF=1：9，
∴S_△FEC：S_{四边形ABCE}=1：8，
同理，S_△FEC：S_△ADE=1：4，
∴S_△FEC：S_□ABCD=1：12．

点评：本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质，重点是找出判定两个三角形相似的条件．