Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E是AC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）点P是$\widehat{BD}$上一点，连接AP，DP，若BD：CD=4：1，求sin∠APD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，AD，由AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，得到∠ADC=90°，根据点E是AC的中点，得到DE=$\frac{1}{2}$AC=CE，根据平角的定义得到∠ODE=180°-（∠1+∠2）=90°．于是得到结论；
（2）设BD=4x，CD=x，则BC=5x．根据相似三角形的性质得到AC=$\sqrt{CD•BC}$=$\sqrt{x•5x}$=$\sqrt{5}$x，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD，AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵点E是AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=CE，
∴∠C=∠1，
∵OB=OD，
∴∠B=∠2，
在Rt△ABC中，
∵∠CAB=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ODE=180°-（∠1+∠2）=90°．
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：设BD=4x，CD=x，则BC=5x．
由△ABC∽△DAC，得$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$．
∴AC=$\sqrt{CD•BC}$=$\sqrt{x•5x}$=$\sqrt{5}$x，
∴sixB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}x}{5x}$=$\frac{\sqrt{5}}{\;}5$，
∵∠APD=∠B，
∴sin∠APD=sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的判定，圆心角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．