Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=

3

2

x与双曲线y=

6

x

相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是20，则点C的坐标为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题,数形结合

分析：设C点坐标为（a，

6

a

），根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组

y= 3 2 x y= 6 x

可得到A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），再利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=

3

a

x+

6

a

-3，直线AC的解析式为y=-

3

a

x+

6

a

+3，于是利用y轴上点的坐标特征得到D点坐标为（0，

6

a

-3），P点坐标为（0，

6

a

+3），然后利用S_△PBC=S_△PBD+S_△CPD得到关于a的方程，求出a的值即可得到C点坐标．

解答：解：BC交y轴于D，如图，设C点坐标为（a，

6

a

）
解方程组

y= 3 2 x y= 6 x

得

x=2 y=3

或

x=-2 y=-3

，
∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（-2，-3）、C（a，

6

a

）代入得

-2k+b=-3 ak+b= 6 a

，解得

k= 3 a b= 6 a -3

，
∴直线BC的解析式为y=

3

a

x+

6

a

-3，
当x=0时，y=

3

a

x+

6

a

-3=

6

a

-3，
∴D点坐标为（0，

6

a

-3）
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（2，3）、C（a，

6

a

）代入得

2m+n=3 am+n= 6 a

，解得

m=- 3 a n= 6 a +3

，
∴直线AC的解析式为y=-

3

a

x+

6

a

+3，
当x=0时，y=

3

a

x+

6

a

+3=

6

a

+3，
∴P点坐标为（0，

6

a

+3）
∵S_△PBC=S_△PBD+S_△CPD，
∴

1

2

×2×6+

1

2

×a×6=20，解得a=

14

3

，
∴C点坐标为（

14

3

，

9

7

）．
故答案为：（

14

3

，

9

7

）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；若方程组无解则两者无交点．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式．