Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=x²+k图象与x轴没有交点，且图象与直线y=-x+k都经过点P，|OP|=

10

，试求实数k的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：先根据二次函数的根的判别式求出k的取值范围，再根据条件求出抛物线与直线的交点坐标，根据两点间的距离公式建立方程求出其解即可．

解答：解：∵二次函数与x轴没有交点，
∴y=0时，x²+k=0，
∴△=-4k＜0，
∴k＞0，
∵一次函数与抛物线有交点，
∴-x+k=x²+k，
x²+x=0，
x（x+1）=0，
∴x₁=0，x₂=-1．
当x=0时，y=k，
当x=-1时，y=k+1．
∴P₁ （0，k），P₂（-1，k+1）
∴由两点间的距离公式，得
OP₁=

k2

=

10

，
∴k=

10

，
OP₂=

1+(k+1)2

=

10

，
∴k₁=2，k₂=-4．
∵k＞0，
∴k=

10

或2．
答：k=2或k=

10

．

点评：本题考查了二次函数与x轴的交点坐标的运用，两点间的距离公式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时由二次函数的解析式与直线的解析式求出交点坐标是关键．