Question

如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2

3

，△ABC腰上的高等于底边的一半，以A为圆心的⊙A经过BC的中点D，且交AB、AC于M、N两点，
（1）求证：BC是⊙A的切线；
（2）求

MDN

的长；
（3）求图中阴影部分的面积（保留π）．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据题意可得出AD⊥BC，则BC是圆A的切线．      
（2）由△ABC是等腰三角形，则∠BAC=120°，由D为BC中点，则得出BD、AD，根据弧长公式得出答案；
（3）S_△ABC=

1

2

BC•AD，S_扇形MAN，则S_阴影=S_△ABC-S_扇形MAN．

解答：（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC
∴BC是圆A的切线．       （3分）

（2）解：∵△ABC腰上的高等于底边的一半
∴∠B=∠C=30°
∴∠BAC=120°
∵BC=2

3

，D为BC中点
∴BD=

3

∴AD=1
∴

MDN

=

120π×1

180

=

2π

3

（6分）

（3）解：S_△ABC=

1

2

BC•AD=

3

S_扇形MAN=

120π×1

360

2=

π

3

∴S_阴影=S_△ABC-S_扇形MAN=

3

-

π

3

（10分）

点评：本题考查了弧长的计算、扇形面积的计算，要熟练掌握公式是解此题的关键．