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已知△ABC为边长为10的等边三角形,D是BC边上一动点:

①如图1,点E在AC上,且BD=CE,BE交AD于F,当D点滑动时,∠AFE的大小是否变化?若不变,请求出其度数.
②如图2,过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G,当点D在BC上滑动时,有下列两个结论:①DC+CG的值为定值;②DG-CD的值为定值.其中有且只有一个是正确的,请你选择正确的结论加以证明并求出其值.

解:①∠AFE的大小不变,其度数为60°,理由为:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°,
在△ABD和△BCE中,

∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴∠BAD=∠CBE,
又∠BAD+∠ADB=120°,
∴∠CBE+∠ADB=120°,
∴∠BFD=60°,
则∠AFE=∠BFD=60°;
②正确的结论为:DC+CG的值为定值,理由如下:
连接AG,如图2所示:

∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°,
又CG为∠ACB的外角平分线,
∴∠ACG=60°,
又∵∠ADG=60°,
∴∠ADG=∠ACG,即A,D,C,G四点共圆,
∴∠DAG+∠DCG=180°,又∠DCG=120°,
∴∠DAG=60°,即∠DAC+∠CAG=60°,
又∵∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠BAD=∠GAC,
在△ABD和△ACG中,

∴△ABD≌△ACG(ASA),
∴DB=GC,又BC=10,
则BC=BD+DC=DC+CG=10,即DC+CG的值为定值.
分析:①∠AFE的大小不变,其度数为60°,理由如下:由三角形ABC为等边三角形,得到三条边相等,三个内角相等,都为60°,可得出AB=BC,∠ABD=∠C,再由BD=CE,利用SAS可得出三角形ABD与三角形BCE全等,根据全等三角形的对应角相等可得出∠BAD=∠CBE,在三角形ABD中,由∠ABD为60°,得到∠BAD+∠ADB的度数,等量代换可得出∠CBE+∠ADB的度数,利用三角形的内角和定理求出∠BFD的度数,根据对应角相等可得出∠AFE=∠BFD,可得出∠AFE的度数不变;
②连接AG,如图所示,由三角形ABC为等边三角形,得出三条边相等,三个内角都相等,都为60°,再由CG为外角平分线,得出∠ACG也为60°,由∠ADG为60°,可得出A,D,C,G四点共圆,根据圆内接四边形的对角互补可得出∠DAG与∠DCG互补,而∠DCG为120°,可得出∠DAG为60°,根据∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAG=60°,利用等式的性质得到∠BAD=∠CAG,利用ASA可证明三角形ABD与三角形ACG全等,利用全等三角形的对应边相等可得出BD=CG,由BC=BD+DC,等量代换可得出CG+CD=BC,而BC=10,即可得到DC+CG为定值10,得证.
点评:此题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,四点共圆的条件,以及圆内接四边形的性质,利用了等量代换及转化的思想,熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P,Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向精英家教网匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q运动到点C时,P,Q都停止运动.
(1)出发后运动2s时,试判断△BPQ的形状,并说明理由;那么此时PQ和AC的位置关系呢?请说明理由;
(2)设运动时间为t,△BPQ的面积为S,请用t的表达式表示S.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P,Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q运动到点C时,P,Q都停止运动.
(1)出发后运动2s时,试判断△BPQ的形状,并说明理由;那么此时PQ和AC的位置关系呢?请说明理由;
(2)设运动时间为t,△BPQ的面积为S,请用t的表达式表示S.

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如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动。设运动时间为t(s),解答下列问题。

(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;

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(3)作QR∥BA交AC于点R,连接PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?

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