Question

（2009•泰安）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线+m与x轴交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；
（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（2）由图可作AF⊥x轴于F，根据直角三角形性质，用待定系数求E点坐标和的抛物线解析式；
（3）再作作PG⊥x轴于G，将四边形OAPE的面积S用x来表示，将问题转化为求函数最值问题．
解答：解：（1）作AF⊥x轴于F，
∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=
∴点A（1，）（1分）
代入直线解析式，
得，
∴m=
∴
当y=0时，
得x=4，∴点E（4，0）（3分）

（2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为y=ax²+bx+c
∵抛物线过原点
∴c=0
，
∴
∴抛物线的解析式为（6分）

（3）作PG⊥x轴于G，设P（x，y）
S_{四边形OAPE}=S_△AOF+S_梯形AFGP+S_△PGE
=（8分）
=
当时，S_最大=．（10分）
点评：此题考查知识点多，但题难度不大，需作辅多条辅助线，在直角三角形中解题，将问题转化为求函数最值问题．