Question

如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论：
①∠BAC=36°；②PB=PC；③四边形APDE是菱形；④AP=2BP．
其中正确的结论是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．②③④

D．①②④

Answer 1

分析：先根据正五边形的性质求出∠ABC的度数，由等腰三角形的性质即可得出∠BAC的度数；同理可得出∠PBC=∠PCB，故可得出PB=PC；由三角形外角的性质得出∠APD的度数，再由∠EAP=∠EDP可知四边形APDE是平行四边形，根据AB=DE可知平行四边形APDE是菱形．

解答：解：∵ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=（5-2）×180°÷5=108°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=

1

2

（180°-∠ABC）=

1

2

（180°-108°）=36°，故①正确；
同理：∠PBC=∠PCB=36°，
∴PB=PC，故②正确．
∵∠PBC=∠PCB=36°，
∴∠ABP=180°-36°=72°，∠APD=∠ABP+∠BAC=72°+36°=108°=∠E，
∠EAP=∠EDP=108°-36°=72°，
∴四边形APDE是平行四边形，
又∵AB=DE，
∴平行四边形APDE是菱形，故③正确；
∵△ABP是锐角三角形，
∴AP≠2BP，故④错误．
故选B．

点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质及菱形的判定定理是解答此题的关键．