Question

8．如图所示，⊙O中AB和AC的中点分别为点E和点F，直线EF交AC于点P，交AB于点Q，那么△APQ是什么三角形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 △APQ是等腰三角形．连接AE、AF，构建相似三角形--△AEQ∽△FAP，由相似三角形的对应角相等和等角的补角相等推知∠AQP=∠APQ，故△AQP为等腰三角形．

解答 解：△APQ是等腰三角形，理由如下：
如图，连接AE、AF．
∵E、F分别是弧AB、AC的中点，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，$\widehat{AF}$=$\widehat{CF}$，
∴∠EAQ=∠AFP，∠AEQ=∠FAP，
∴△AEQ∽△FAP，
∴∠FPA=∠AQE，
∴∠AQP=∠APQ（等角的补角相等），
∴△AQP为等腰三角形．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系．
正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系，三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．