Question

19．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形；
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y=S_△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数解析式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；
（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案．

解答 解：（1）四边形APQD为平行四边形；

（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO=45°，
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，
∴OB=OQ，
在△AOB和△OPQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=PQ}&{\;}\\{∠ABO=∠PQO}&{\;}\\{BO=QO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
∴∠AOP=∠BOQ=90°，
∴OA⊥OP；

（3）如图，过O作OE⊥BC于E．
①如图1，当P点在B点右侧时，
则BQ=x+2，OE=$\frac{x+2}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{x+2}{2}$•x，即y=$\frac{1}{4}$（x+1）²-$\frac{1}{4}$，
又∵0≤x≤2，
∴当x=2时，y有最大值为2；
②如图2，当P点在B点左侧时，
则BQ=2-x，OE=$\frac{2-x}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{2-x}{2}$•x，即y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+$\frac{1}{4}$，
又∵0≤x≤2，
∴当x=1时，y有最大值为$\frac{1}{4}$；
综上所述，当x=2时，y有最大值为2．

点评 本题是四边形综合题目，考查了二次函数的性质，利用平行四边形的判定是解题关键；利用全等三角形的判定与性质是解题关键；本题综合性强，有一定难度，利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是解题关键．