Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，BC＝2OC，E为AB边上一点.

（1）若CE＝6，∠ACE＝15°，求BC的长；

（2）若F为BO上一点，且BF＝EF，G为CE中点，连接FG，AG，求证：

Answer 1

【答案】（1）BC=+；（2）见解析；

【解析】

（1）过点E作EM⊥BC于点M，由菱形的性质和已知条件可得AB=BC=AC，进一步利用锐角三角函数解RT△CEM和RT△BEM,求出BM和CM的值，相加即可得到BC的长；

（2）延长FG至点H，使GH＝FG，连接CH，AH．先证△EFG≌△CHG得到CH＝BF，CH∥EF，再延长EF交BC于点K，证△AFB≌△AHC，进一步证得∠AFH=60°，最后由三角函数可得出.

（1）过点E作EM⊥BC于点M,

∵四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O

∴AB=BC,AC=2CO

∵BC=2CO

∴AB=BC=AC

∴∠ACB=∠ABC=60°

∵∠ACE=15°

∴∠ECB=∠ACB—∠ACE=45°

∴CM=EM=CE=

∴BM=EM=

∴BC= CM+BM=+

（2）证明：延长FG至点H，使GH＝FG，连接CH，AH．

∵G为CE中点，∴EG＝GC，

在△EFG与△CHG中，

，

△EFG≌△CHG（SAS），

∴EF＝CH，∠CHG＝∠EFG，

∴CH＝BF，CH∥EF，

延长EF交BC于点K

∵菱形ABCD中，BD平分∠ABC∴∠ABF=∠ABC=30°

∵BF=EF ∴∠BEF=∠ABF =30°

又∵∠ABC=60°∴∠EKB＝90°

∵CH//EF ∴∠HCB＝∠EKB＝90°

∴∠ACH＝∠HCB—∠ACB＝90°﹣60°＝30°，

∴∠ABF＝∠ACH

∵BF=EF,EF=CH

∴BF=CH

在△AFB与△AHC中，

△AFB≌△AHC（SAS），

∴AF＝AH，∠BAF＝∠CAH

∵FG＝GH，

∴AG⊥FG

∵∠BAC＝∠BAF+∠FAC＝60°，

∴∠CAH+∠FAC＝60°，

即∠FAH＝60°，

∴∠AFH=60°

∴AG=FG