Question

如图，已知正方形ABCD的边长为4，延长CB到E，使BE=3，连接AE，过点A作AF⊥AE交DC于F
（1）求证：△ADF≌△ABE
（2）求cos∠BAF的值．

Answer 1

分析：（1）由于四边形ABCD是正方形，那么∠BAD=90°，而AF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠DAF=∠EAB，又∠ABE=∠D=90°，AB=AD，故△ADF≌△ABE．
（2）根据△ADF≌△ABE，得出AE=AF，AH=DF=BE，即可求出cos∠BAF的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠DAF+∠BAF=90°，
又∵AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠EAB，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠D=90°，AB=AD，
∴△ADF≌△ABE．

（2）解：过F作FH⊥AB于H，则四边形ABCD为矩形，AH=DF，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=5，
由（1）得△ADF≌△ABE，
∴AF=AE=5，AH=DF=BE=3，
∴在Rt△AHF中，cos∠BAF=

3

5

．

点评：此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理的运用．