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如图,反比例函数y=
k
x
的图象与二次函数y=-x2+bx+c的图象在第一象限内相交A、B两点,A、B两点的纵坐精英家教网标分别为1,3,且AB=2
5

(1)求反比例函数的解析式;
(2)求二次函数的解析式;
(3)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.
分析:(1)设出A、B两点的坐标,根据两点都在反比例函数的图象上,可找出两坐标之间的关系,由AB两点之间的距离可求出K的值,从而求出其解析式;
(2)根据(1)中所求A,B两点的坐标,分别代入二次函数的解析式即可求出b、c的值,从而求出二次函数的解析式;
(3)设出M,N两点的坐标,由A,B两点的坐标可求出过A,B两点直线的解析式,根据其解析式可设出过M,N两点的直线解析式,找出两点坐标与的关系,再根据平行四边形的性质即可求出未知数的值从而求出其解析式.
解答:(1)解:∵A、B两点都在反比例函数y=
k
x
的图象上,两点的纵坐标分别为1,3,
故可设A(x1,1)B(x2,3),分别代入反比例函数的解析式为k=x1,k=3x2
解得x1=3x2
由AB=2
5

可得(x1-x22+(1-3)2=(2
5
2,x2=±2,
因为函数图象在第一象限,
故x2=2,k=3x2=6,
∴该反比例函数的解析式为:
y=
6
x
;(3分)

(2)由(1)可知,A(6,1),B(2,3),代入二次函数的解析式,
-36+6b+c=1
-4+2b+c=3

解得
c=-8
b=
15
2

故此二次函数的解析式为:y=-x2+
15
2
x-8;(2分)

(3)解:设M(x,0),N(0,y),过A、B两点的直线解析式为y=kx+b,
把A、B两点坐标代入得
6k+b=1
2k+b=3

解得k=-
1
2

则设经过M、N两点的直线解析式为y=-
1
2
x+b,
把M(x,0),N(0,y)代入得y=b,x=2b,
∵MN=AB,即x2+y2=(2
5
2,即b2=4,b=±2,
故过M,N两点的直线解析式为:y=-
1
2
x+2或y=-
1
2
x-2.(4分)
点评:本题考查的是一次函数,反比例函数及二次函数图象上点的坐标特点,涉及面较广,但难度适中.
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