Question

如图，反比例函数y=

k

x

的图象与二次函数y=-x²+bx+c的图象在第一象限内相交A、B两点，A、B两点的纵坐标分别为1，3，且AB=2

5

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求二次函数的解析式；
（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

Answer 1

分析：（1）设出A、B两点的坐标，根据两点都在反比例函数的图象上，可找出两坐标之间的关系，由AB两点之间的距离可求出K的值，从而求出其解析式；
（2）根据（1）中所求A，B两点的坐标，分别代入二次函数的解析式即可求出b、c的值，从而求出二次函数的解析式；
（3）设出M，N两点的坐标，由A，B两点的坐标可求出过A，B两点直线的解析式，根据其解析式可设出过M，N两点的直线解析式，找出两点坐标与的关系，再根据平行四边形的性质即可求出未知数的值从而求出其解析式．

解答：（1）解：∵A、B两点都在反比例函数y=

k

x

的图象上，两点的纵坐标分别为1，3，
故可设A（x₁，1）B（x₂，3），分别代入反比例函数的解析式为k=x₁，k=3x₂，
解得x₁=3x₂，
由AB=2

5

，
可得（x₁-x₂）²+（1-3）²=（2

5

）²，x₂=±2，
因为函数图象在第一象限，
故x₂=2，k=3x₂=6，
∴该反比例函数的解析式为：
y=

6

x

；（3分）

（2）由（1）可知，A（6，1），B（2，3），代入二次函数的解析式，
得

-36+6b+c=1 -4+2b+c=3

，
解得

c=-8 b= 15 2

，
故此二次函数的解析式为：y=-x²+

15

2

x-8；（2分）

（3）解：设M（x，0），N（0，y），过A、B两点的直线解析式为y=kx+b，
把A、B两点坐标代入得

6k+b=1 2k+b=3

，
解得k=-

1

2

．
则设经过M、N两点的直线解析式为y=-

1

2

x+b，
把M（x，0），N（0，y）代入得y=b，x=2b，
∵MN=AB，即x²+y²=（2

5

）²，即b²=4，b=±2，
故过M，N两点的直线解析式为：y=-

1

2

x+2或y=-

1

2

x-2．（4分）

点评：本题考查的是一次函数，反比例函数及二次函数图象上点的坐标特点，涉及面较广，但难度适中．