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如图所示,MN是⊙O的切线,B为切点,BC是⊙O的弦且∠CBN=45°,过C的直线与⊙O,MN分别交于A,D两点,过C作CE⊥BD于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若∠D=30°,BD=2+2,求⊙O的半径r.

【答案】分析:(1)连接OB、OC,证明OC⊥CE即可.因为MN是⊙O的切线,所以OB⊥MN.因∠CBN=45°可得∠OBC=∠OCB=∠BCE=45°,所以∠OCE=90°,得证;
(2)可证四边形BOCE为正方形,所以半径等于CE.
可设半径为r,在△BCE中表示BE;在△CDE中表示DE,根据BD的长得方程求解.
解答:(1)证明:连接OB、OC.
∵MN是⊙O的切线,
∴OB⊥MN.
∵∠CBN=45°,
∴∠OBC=45°,∠BCE=45°.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=45°.
∴∠OCE=90°,
∴CE是⊙O的切线;

(2)解:∵OB⊥BE,CE⊥BE,OC⊥CE,
∴四边形BOCE是矩形,
又OB=OC,
∴四边形BOCE是正方形,
∴BE=CE=OB=OC=r.
在Rt△CDE中,
∵∠D=30°,CE=r,
∴DE=r.
∵BD=2+2
∴r+r=2+2
∴r=2,即⊙O的半径为2.
点评:此题考查了切线的判定和解直角三角形,是各地中考常出的题型,难度中等.
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