Question

已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d．
（1）用含有p的式子表示q．
（2）求d²与p的关系式．
（3）当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

（1）将x=-1，y=-1代入抛物线解析式得：-1=1-p+q，
则q=p-2，

（2）抛物线y=x²+px+q，令y=0，得到x²+px+q=0，
设A，B的横坐标分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
∵线段AB的长为d=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

p2-4q

，
∴d²=p²-4q=p²-4p+8=（p-2）²+4；

（3）当p=2时，d²取得最小值，最小值为4．