分析 (1)补充图形如图1所示,过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,得到四边形PEBF是矩形,根据矩形的性质得到PE∥BC,PF∥AB,根据三角形的中位线的性质得到PE=$\frac{1}{2}$BC,PF=$\frac{1}{2}$AB,根据相似三角形的性质即可得到结论;
(2)过点P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于点F,由PF⊥BC和∠ABC=90°可以得到AB∥PF,∠PFC=90°进而得到∠A=∠FPC;根据全等三角形的性质得到AE=PF;根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
解答 解:(1)补充图形如图1所示,过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,
∵∠ABC=90°,
∴四边形PEBF是矩形,
∴PE∥BC,PF∥AB,
∵P是AC的中点,
∴PE=$\frac{1}{2}$BC,PF=$\frac{1}{2}$AB,
∵∠A=30°,
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∵∠EPF=∠MPN=90°,
∴∠MPE=∠NPF,
∴△PEM∽△PFN,
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
(2)思路:在Rt△ABC中,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于点F,
由PF⊥BC和∠ABC=90°可以得到AB∥PF,∠PFC=90°进而得到
∠A=∠FPC;由∠PFC=∠AEP=90°,AP=PC可以得到
△AEP≌△PFC,进而推出AE=PF;
由点P处的两个直角可以得到∠EPM=∠FPN,
进而可以得到△MEP∽△NPF,由此可以得到$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PN}{PM}$
等量代换可以得到$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{AE}$;在Rt△AEP中$tan∠A=\frac{PE}{AE}$,可以得到$\frac{PM}{PN}=tan23°$.
解:点P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于点F,
则四边形PEBF是矩形,
∴PF∥AB,∠EPF=90°,
∴∠A=∠CPF=23°,
在△AEP与△PFC中,$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CPF}\\{∠AEP=∠PFC}\\{AP=PC}\end{array}\right.$,
∴△AEP≌△PFC,
∴AE=PF,
∵∠EPF=∠MPN=90°,
∴∠EPM=∠FPN,
∴△MEP∽△NPF,
∴$\frac{PF}{PE}=\frac{PN}{PM}$,
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{AE}$,
∵tan∠A=$\frac{PE}{AE}$,
∴$\frac{PM}{PN}$=tan23°.
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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