Question

4．如图所示，在直角坐标平面中，二次函数y=-x²+kx+4的图象与y轴交于C点，与x轴交于点A（-3，0）和B点，一次函数y=-x+b图象经过点B交抛物线于另一点D．
（1）分别求出k、b值；
（2）求出点D坐标；
（3）当x为-2＜x＜$\frac{4}{3}$时，二次函数大于一次函数值；
（4）点M为x轴下方抛物线上的点，若△ABC的面积是△ABM面积的3倍，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A坐标代入y=-x²+kx+4求出k，再求出点B坐标代入y=-x+b即可解决问题．
（2）列方程组求交点坐标．
（3）根据二次函数图象在一次函数图象上方写出自变量的取值范围即可．
（4）设点M的坐标为（m，n）（n＜0），列出方程先求出n，再利用待定系数法求出m的值即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+kx+4的图象经过点A（-3，0），
∴-9-3k+4=0，
∴k=-$\frac{5}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-x²-$\frac{5}{3}$x+4，
令y=0，则-x²-$\frac{5}{3}$x+4=0，解得x=-3或$\frac{4}{3}$，
∴点B坐标为（$\frac{4}{3}$，0）代入y=-x+b，
得到b=$\frac{4}{3}$．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+\frac{4}{3}}\\{y=-{x}^{2}-\frac{5}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴点D坐标（-2，$\frac{10}{3}$）．

（3）由图象可知当-2＜x＜$\frac{4}{3}$时，二次函数大于一次函数值．
故答案为-2＜x＜$\frac{4}{3}$．

（4）设点M的坐标为（m，n）（n＜0）
由题意$\frac{1}{2}$×AB×OC=3×$\frac{1}{2}$×AB×（-n），
∴n=-$\frac{4}{3}$．
当n=-$\frac{4}{3}$时，-$\frac{4}{3}$=-m²-$\frac{5}{3}$m+4，
解得m=$\frac{-5±3\sqrt{13}}{6}$，
∴点M坐标为（$\frac{-5-3\sqrt{13}}{6}$，-$\frac{4}{3}$）或（$\frac{-5+3\sqrt{13}}{6}$，-$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查二次函数综合题．一次函数、三角形面积问题等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．