Question

如图，矩形ABCD中，AD=nAB，E是AB的中点，BF⊥EC于F，连接FD，FG⊥FD交直线BC于点G．
（1）求证：△FBG∽△FCD；
（2）当n=1时，求CG：BC的值；
（3）当CG：BC=7：8时，求n的值．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是矩形，BF⊥EC，FG⊥FD，利用同角的余角相等，易证得∠FBG=∠FCD，∠BFG=∠CFD，即可得△FBG∽△FCD；
（2）由当n=1时，AD=AB，可得四边形ABCD是正方形，又由E是AB的中点，可得在Rt△BCF中，

BF

CF

=

1

2

，继而求得CG：BC的值；
（3）易求得在Rt△EBC中，tan∠BCE=

BE

BC

=

1

2n

，可得在Rt△BCF中，

BF

CF

=

1

2n

，又由BG：CD=1：8，即可求得n的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ACD=90°，
即∠BCF+∠DCF=90°，
∵BF⊥EC，FG⊥FD，
∴∠FBC+∠BCF=90°，∠BFG+∠GFC=90°，∠GFC+∠CFD=90°，
∴∠FBG=∠FCD，∠BFG=∠CFD，
∴△FBG∽△FCD；

（2）当n=1时，AD=AB，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
∵E是AB的中点，
∴在Rt△EBC中，tan∠BCE=

BE

BC

=

1

2

，
∴在Rt△BCF中，

BF

CF

=

1

2

，
∵△FBG∽△FCD；
∴BG：CD=BF：CF=1：2，
即BG：BC=1：2，
∴CG：BC=1：2；

（3）∵CG：BC=7：8，
∴BG：BC=1：8，
∴BG：CD=n：8，
∵E是AB的中点，
∴BE=

1

2

AB，
∵AD=nAB，
∴在Rt△EBC中，tan∠BCE=

BE

BC

=

1

2n

，
∴在Rt△BCF中，

BF

CF

=

1

2n

，
∵△FBG∽△FCD；
∴BG：CD=BF：CF=1：2n，
∴2n²=8，
解得：n=±2（-2舍去）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．