【题目】如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:EF=BC;
(2)若∠ABC=62°,∠ACB=29°,求∠FGC的度数.
【答案】(1)见解析;(2)85°.
【解析】
(1)由旋转的性质可得AC=AF,利用SAS证明△ABC≌△AEF,根据全等三角形的对应边相等即可得出EF=BC;
(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE=180°-62°×2=56°,那么∠FAG=56°.由△ABC≌△AEF,得出∠F=∠ACB=29°,再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC=∠FAG+∠F=85°.
(1)证明:∵∠CAF=∠BAE,
∴∠BAC=∠EAF.
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置,
∴AC=AF.
在△ABC与△AEF中,
,
∴△ABC≌△AEF(SAS),
∴EF=BC;
(2)解:∵AB=AE,∠ABC=62°,
∴∠BAE=180°-62°×2=56°,
∴∠CAF=∠BAE =56°.
∵△ABC≌△AEF,
∴∠F=∠ACB=29°,
∴∠FGC=∠CAF+∠F=56°+29°=85°.
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【题目】如图,△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点D为AB边上的一点,
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)若DE=13,BD=12,求线段AB的长.
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【题目】如图,是规格为8×8的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作:
(1)在网格中建立平面直角坐标系,使A点坐标为(-2,4),B点坐标为(-4,2);
(2)在(1)的前提下,在第二象限内的格点上找一点C,使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形,且腰长是无理数,则C点的坐标是;
(3)求((2)中△ABC的周长(结果保留根号);
(4)画出((2)中△ABC关于y轴对称的△A'B'C'.
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【题目】如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.
(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;
(2)求证:四边形ABCD是直角梯形.
【答案】(1)y=-x2-2x+3,顶点C的坐标为(-1,4);(2)证明见解析.
【解析】
(1)解:∵y=x+3与坐标轴分别交与A,B两点,∴A点坐标(-3,0)、B点坐标(0,3).
∵抛物线y=ax2+bx-3a经过A,B两点,
∴
解得
∴抛物线解析式为:y=-x2-2x+3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴顶点C的坐标为(-1,4).
(2)证明:∵B,D关于MN对称,C(-1,4),B(0,3),
∴D(-2,3).∵B(0,3),A(-3,0),∴OA=OB.
又∠AOB=90°,∴∠ABO=∠BAO=45°.
∵B,D关于MN对称,∴BD⊥MN.
又∵MN⊥x轴,∴BD∥x轴.
∴∠DBA=∠BAO=45°.
∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°.
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(0,3),C(-1,4)代入得,
解得
∴y=-x+3.
当y=0时,-x+3=0,x=3,∴E(3,0).
∴OB=OE,又∵∠BOE=90°,
∴∠OEB=∠OBE=∠BAO=45°.
∴∠ABE=180°-∠BAE-∠BEA=90°.
∴∠ABC=180°-∠ABE=90°.
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°.
∵CM⊥BD,∴∠MCB=45°.
∵B,D关于MN对称,
∴∠CDM=∠CBD=45°,CD∥AB.
又∵AD与BC不平行,∴四边形ABCD是梯形.
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是直角梯形.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】有两组卡片,第一组三张卡片上都写着A、B、B,第二组五张卡片上都写着A、B、B、D、E.试用列表法求出从每组卡片中各抽取一张,两张都是B的概率.
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【题目】一只不透明的袋子中,装有三个分别标记为“1”、“2”、“3”的球,这三个球除了标记不同外,其余均相同.搅匀后,从中摸出一个球,记录球上的标记后放回袋中并搅匀,再从中摸出一个球,再次记录球上的标记.
(1)请列出上述实验中所记录球上标记的所有可能的结果;
(2)求两次记录球上标记均为“1”的概率.
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【题目】甲、乙两名学生参加数学素质测试(有四项),每项测试成绩采用百分制,成绩如表:
学生 | 数与代数 | 空间与图形 | 统计与概率 | 综合与实践 | 平均成绩 | 方差 |
甲 | 87 | 93 | 91 | 85 | 89 | ______ |
乙 | 89 | 96 | 91 | 80 | ______ | ______ |
(1)将表格中空缺的数据补充完整,根据表中信息判断哪个学生数学综合素质测试成绩更稳定?请说明理由.
(2)若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按,计算哪个学生数学综合素质测试成绩更好?请说明理由.
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【题目】学生小明将线段的垂直平分线上的点,称作线段的“轴点”.其中,当时,称为线段的“长轴点”;当时,称为线段的“短轴点”.
(1)如图1,点,的坐标分别为,,则在,,,中线段的“短轴点”是______.
(2)如图2,点的坐标为,点在轴正半轴上,且.
①若为线段的“长轴点”,则点的横坐标的取值范围是( )
A. B. C. D.或
②点为轴上的动点,点,在线段的垂直平分线的同侧.若为线段的“轴点”,当线段与的和最小时,求点的坐标.
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