Question

如图，在?ABCD中，E是BC边上的一点，连接DE，F是DE上的一点，连接AF且∠AFE=∠B．又知AB=2，BC=3，AF=1.5．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）求DE的长．

Answer 1

分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）由（1）可知△ADF∽△DEC，利用相似的性质可得

AD

DE

=

AF

CD

，已知AF=1.5代入上式解得DE=4．

解答：（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADF=∠CED．
∵∠B与∠C互补，∠AFE与∠AFD互补，而∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF和△DEC中，
∵∠ADF=∠CED，∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

．
∵AB=DC，AB=2，
∴DC=2．
∵BC=AD，BC=3，
∴AD=3．已知AF=1.5代入上式解得DE=4．

点评：此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟记判定三角形相似的各种方法和各种性质．