【题目】如图,一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC,且使∠ABC=30°。
(1)求AC的长度;
(2)如果在第二象限内有一点,试求四边形AOPB的面积S与m之间的函数关系式,并求当△APB与△ABC面积相等时m的值。
(3)是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q?若存在,请写出点Q所有可能的坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)AC=;(2)m=;(3)(0,2),(0,+2),(1,0)(3,0),(0,),(0,)
【解析】
(1)先求出A、B两点的坐标,再由一个角等于30°,即可求出AC的长;
(2)过P作PD⊥x轴,垂足为D,先求出梯形ODPB的面积和△AOB的面积之和,再减去△APD的面积,即是△APB的面积;根据△APB与△ABC面积相等,求得m的值;
(3)假设存在点Q,使△QAB是等腰三角形,分情况求出Q点的坐标即可.
(1)∵一次函数的解析式为函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B,
∴A(1,0),B(0,),
∴AB=2,
设AC=x,则BC=2x,由勾股定理得,4x2x2=4,
解得x=
则AC=;
(2)过P作PD⊥x轴,垂足为D,
S△APB=S梯形ODPB+S△AOBS△APD=
=,
∵S△ABC=
∴=
解得m=;
(3)∵AB==2,
∴如图:当AQ=AB时,点Q1(3,0),Q2(1,0),Q3(0,);
当AB=BQ时,点Q4(0,+2),Q5(0,2),Q2(1,0);
当AQ=BQ时,点Q6(0,),Q2(1,0),
综上可得:(0,2),(0,+2),(1,0)(3,0),(0,),(0,)
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【题目】一辆客车从甲地开往乙地,一辆出租车从乙地开往甲地,两车同时出发,设客车离甲地的距离为y1千米,出租车离甲地的距离为y2千米.两车行驶的时间为x小时,y1、y2关于x的函数图象如图所示:
(1)根据图象,直接写出y1,y2关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,两车相遇?
(3)甲、乙两地间有A、B两个加油站,相距280千米,若客车进入A加油站时,出租车恰好进入B加油站,求A加油站离甲地的距离.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0)、C(2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)设点M(3,n),求使MN+MD取最小值时n的值.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化?写出函数关系式及t的取值范围.
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【题目】小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动,小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动,于是小明设计了一个游戏,游戏规则是:在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字,一人先从三张卡片中随机抽出一张,记下数字后放回,另一人再从中随机抽出一张,记下数字,若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数,则按照小明的想法参加敬老服务活动,若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数,则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,有一块含30°角的直角三角板OAB的直角边BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等,把这两块三角板放置在平面直角坐标系中,且OB=3.
(1)若某反比例函数的图象的一个分支恰好经过点A,求这个反比例函数的解析式;
(2)若把含30°角的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好落在x轴上,点A落在点A′处,试求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=;(2)S阴影=6π-.
【解析】分析:(1)根据tan30°=,求出AB,进而求出OA,得出A的坐标,设过A的双曲线的解析式是y=,把A的坐标代入求出即可;(2)求出∠AOA′,根据扇形的面积公式求出扇形AOA′的面积,求出OD、DC长,求出△ODC的面积,相减即可求出答案.
本题解析:
(1)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,OB=3,
∴AB=OB·tan 30°=3.
∴点A的坐标为(3,3).
设反比例函数的解析式为y= (k≠0),
∴3=,∴k=9,则这个反比例函数的解析式为y=.
(2)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,
sin ∠AOB=,即sin 30°=,
∴OA=6.
由题意得:∠AOC=60°,S扇形AOA′==6π.
在Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3,
∴OD=OC·cos 45°=3×=.
∴S△ODC=OD2==.
∴S阴影=S扇形AOA′-S△ODC=6π-.
点睛:本题考查了勾股定理、待定系数法求函数解析式、特殊角的三角函数值、扇形的面积及等腰三角形的性质,本题属于中档题,难度不大,将不规则的图形的面积表示成多个规则图形的面积之和是解答本题的关键.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得点B落在CD边上的点P处.
(1)如图①,已知折痕与边BC交于点O,连接AP,OP,OA.
① 求证:△OCP∽△PDA;
② 若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长.
(2)如图②,在(1)的条件下,擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上(不与点P,A重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M,N在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?若不变,求出线段EF的长度;若变化,说明理由.
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【题目】已知四边形ABCD中,对角线BD被AC平分,那么再加上下述中的条件( ) 可以得到结论: “四边形ABCD是平行四边形”.
A.AB=CD B.∠BAD=∠BCDC.∠ABC=∠ADC D.AC= BD
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点分别落在边长为1的正方形格上,
(1)分别写出A、B、C三点坐标;
(2)△DEF可以看作是△ABC经过若干次的图形变化(轴对称、平移)得到的,写出一种由△ABC得到△DEF的过程,并体现在坐标系中.
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