Question

如图，△ABC内接于⊙O, AD是⊙O直径, E是CB延长线上一点, 且ÐBAE=ÐC.

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若EB="AB" , ,  AE=24，求EB的长及⊙O的半径。

Answer 1

角度变换求证；

试题分析：证明：连结BD.   
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD =90°.
∴∠1+∠D =90°.
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
∴∠D=∠BAE.    …………………………1分
∴∠1+∠BAE=90°.
即 ∠DAE=90°.
∵AD是⊙O的直径，
∴直线AE是⊙O的切线.   ……………………………3分
（2）解: 过点B作BF⊥AE于点F, 则∠BFE=90°.
∵EB="AB,"
∴∠E=∠BAE, EF=AE=×24=12. 
∵∠BFE=90°, ,
∴=15.  …………………………………5分
∴AB=15.          
由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE, 
∴∠D=∠E.
∵∠ABD=90°,
∴ .     …………………………………6
设BD=4k，则AD＝5k，在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝="3k," 可求得k=5.     
∴
∴⊙o的半径为.……
点评：本题属于对勾股定理的基本知识的理解和运用