Question

把正△ABO绕着点O，按顺时针方向旋转任意角度α得到△CDO，边CD与AB交于点H（如图）．
（1）线段HC与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想；
（2）若OA=2，α=30°，求点H的坐标．

Answer 1

解：（1）HC=HB．
连接AC，BD，OB与x轴相交于点G，
由旋转的性质OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD=α，
又OA=OB，
∴△OCA≌△OBD，
∴AC=BD，∠ACO=∠DBO，
又∠OCH=∠HBO=60°，
∴∠ACH=∠DBH，而∠CHA=∠BHD，
∴△CHA≌△BHD，
∴HC=HB；

（2）当α=30°时，∵∠AOB=60°，
∴OC平分∠AOB，即∠COB=30°，
又∠OCG=60°，∴∠OGC=90°，
在Rt△OGC中，OC=OA=2，OG=OC•cos30°=，
∴BG=OB-OG=2-，
在Rt△BGH中，GH=BG•tan60°=2-3，
∴H点的坐标为（，2-3）．
分析：（1）连接AC，BD，根据旋转的性质及等边三角形的性质易证△OCA≌△OBD，则AC=BD，∠ACO=∠DBO，又∠OCH=∠HBO=60°，可证∠ACH=∠DBH，对顶角∠CHA=∠BHD，可证△CHA≌△BHD，证明结论；
（2）当α=30°时，OC平分∠AOB，即∠COB=30°，又∠OCG=60°，则∠OGC=90°，在Rt△OGC中，解直角三角形可求OG，则BG=OB-OG，再解Rt△BGH求GH，确定H点的坐标．
点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质及三角形全等的判定与性质．关键是通过旋转的性质运用，得到特殊三角形．