Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是的中点，DB交AC于点G，过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD．点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F．

（1）求证：MD＝GD；

（2）填空：①当∠DEA＝　 　时，AF＝FG；

②若∠ABD＝30°，当∠DEA＝　 　时，四边形DEBC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①90°；②60°

【解析】

（1）由圆周角定理和切线的性质可得∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，再结合三角形外角的性质可得∠M＝∠AGD，可证AG＝AM，由等腰三角形三线合一可得结论；

（2）①由直角三角形的性质可得AF＝FG＝DF，由等腰三角形的性质和余角的性质可求∠DEA＝90°；

②由菱形的性质可得∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC，即可求解．

证明：（1）如图，连接BC．

∵D是的中点，

∴∠DAC＝∠ABD，

∵MA是半圆O的切线，

∴MA⊥AB，

∵AB是半圆O的直径，

∴AD⊥DB，

∴∠ADM＝90°，

∴∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，

∴∠M＝∠BAD＝∠DAC+∠BAG＝∠ABD+∠BAG＝∠AGD，

∴AG＝AM，

∵AD⊥MG，

∴MD＝GD；

（2）①若AF＝FG，

∵∠ADG＝90°，

∴AF＝FG＝DF，

∴∠DAF＝∠ADF，

∴∠ADF＝∠ABD，

∵∠ADF+∠EDB＝90°，

∴∠ABD+∠EDB＝90°，

∴∠DEA＝90°，

故答案为：90°；

②若四边形DEBC是菱形，

∴∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC，

∴∠AED＝∠ABC＝30°+30°＝60°，

故答案为：60°．