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【题目】(背景)如图(a),ABCADE均是顶角为40°的等腰三角形,BC,DE分别是底边,求证:BD=CE.

(探究)如图(b),ACBDCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.

①∠AEB的度数为________;②线段BEAD之间的数量关系是________.

(拓展)如图(c),ACBDCE均为等腰直角三角形,∠ACB=DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CMDCEDE边上的高,连接BE.

①求∠AEB的度数;

②请直接写出线段CM,AE,BE之间的数量关系.

【答案】背景:见解析;探究60° BE=AD;拓展:(1)90°;(2)AE=BE+2CM

【解析】

背景根据全等三角形的判定方法,判断出BAD≌△CAE,即可判断出BD=CE;

探究①根据ACBDCE均为等边三角形,可得AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60°,CDE=CED=60°,据此判断出∠ACD=BCE;然后根据全等三角形的判定方法,判断出ACD≌△BCE,即可判断出∠BEC=ADC,进而判断出∠AEB的度数为60°即可

②,由ACD≌△BCE,即可判断出BE=AD;

拓展①根据ACBDCE均为等腰直角三角形,可得AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=90°,据此判断出∠ACD=BCE;然后根据全等三角形的判定方法,判断出ACD≌△BCE,即可判断出BE=AD,BEC=ADC,进而判断出∠AEB的度数为90°即可;

②根据∠DCE=90°,CD=CE,CMDE,可得CM=DM=EM,所以DE=DM+EM=2CM,据此判断出AE=BE+2CM即可.

背景∵∠BAC=DAE=40°,

∴∠BAC-DAC=DAE-DAC,即∠BAD=CAE,

BADCAE中,

∴△BAD≌△CAE,BD=CE;

探究①∵△ACBDCE均为等边三角形,

AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60°,CDE=CED=60°,

∴∠ACB-DCB=DCE-DCB,

即∠ACD=BCE,

ACDBCE中,

∴△ACD≌△BCE,

∴∠ADC=BEC,

∵点A,D,E在同一直线上,

∴∠ADC=180-60=120°,

∴∠BEC=120°,

∴∠AEB=BEC-CED=120-60=60°,

故答案为:60°;

②∵ACD≌△BCE,

BE=AD,

故答案为:BE=AD;

拓展①∵△ACBDCE均为等腰直角三角形,∠ACB=DCE=90°,

AC=BC,CD=CE,CDE=CED=45°,

ACB-DCB=DCE-DCB,

即∠ACD=BCE,

ACDBCE中,

∴△ACD≌△BCE,

AD=BE,ADC=BEC,

∵点A,D,E在同一直线上,

∴∠ADC=180°-CDE=180°-45°=135°,

∴∠BEC=135°,

∴∠AEB=BEC-CED=135°-45°=90°;

②∵∠DCE=90°,CD=CE,CMDE,

CM=DM=EM,

DE=DM+EM=2CM,

又∵AD=BE,

AE=AD+DE=BE+2CM

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),

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),

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),

CDFG ),

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FGAB(已知),

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