Question

1．如图，△OAB是等要直角三角形，∠B=90°，BO=BA，OA=4，点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$过OB的中点C且与AB交于点D，连接CD，则∠BDC=30°．

Answer 1

分析 作BE⊥OA于E，DF⊥OA于F，CG⊥OA于G，根据等腰直角三角形的性质OE=AE=BE=2，进而求得BC=OC=$\sqrt{2}$，从而求得OG=CG=1，得出C（1，1），利用待定系数法求得双曲线的解析式为y=$\frac{1}{x}$，设D（a，$\frac{1}{a}$），则AF=4-a，DF=$\frac{1}{a}$，根据△ADF∽△ABE，对应边成比例求得AD=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，从而求得BD=$\sqrt{6}$，然后根据正切函数即可求得∠BDC的度数．

解答 解：作BE⊥OA于E，DF⊥OA于F，CG⊥OA于G，
∵△OAB是等腰直角三角形，∠B=90°，BO=BA，OA=4，
∴OE=AE=2，BE=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴OB=AB=2$\sqrt{2}$，
∵点C是OB的中点，
∴BC=OC=$\sqrt{2}$，
∵CG⊥OA，
∴OG=CG=1，
∴C（1，1），
∵C是双曲线y=$\frac{k}{x}$的点，
∴k=1×1=1，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{1}{x}$，
∵BE⊥OA，DF⊥OA，
∴DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AF}{BE}$，
∵D是双曲线y=$\frac{k}{x}$的点，
∴设D（a，$\frac{1}{a}$），
∵OA=4，
∴AF=4-a，DF=$\frac{1}{a}$，
∴4-a=$\frac{1}{a}$，
∴a=2+$\sqrt{3}$，
∴AF=2-$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AD}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
∴BD=AB-AD=2$\sqrt{2}$-（2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$）=$\sqrt{6}$，
∴tan∠BDC=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BDC=30°．
故答案为30°．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，待定系数法求解析式，直角三角函数等，求得反比例函数的解析式是解题的关键．