Question

1．如图，点B（3，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，点C在双曲线y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）上，点A在x轴的正半轴上，且△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）填空：k=9；
（2）求点A的坐标；
（3）若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B点代入双曲线y=$\frac{k}{x}$，可求得k的值；
（2）过C作CM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，可证明△ACM≌△BAN，结合B点坐标则可求得C点坐标，从而可求得OA的长，可求得A点坐标；
（3）设D（x，0），由C点坐标，则可分别表示出CO、CD和OD，分CO=CD、CO=OD和CD=OD三种情况，分别得到关于x的方程，可求得D点坐标．

解答 解：
（1）∵点B（3，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=3×3=9，
故答案为：9；
（2）∵B（3，3），
∴BN=ON=3，
设MC=a，OM=b，
∵C在y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）上，
∴-ab=-4，即ab=4．
分别过点B、C作BN⊥x轴于N，CM⊥x轴于M，如图，

则∠CMA=∠ANB=90°，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，AC=AB，
∴∠MCA+∠CAM=90°，∠CAM+∠BAN=90°，
∴∠ACM=∠BAN．
在△ACM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACM=∠BAN}\\{∠CMA=∠ANB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BAN（AAS），
∴BN=AM=3，MC=AN=a，
∴OA=3-a，即AM=b+3-a=3，
∴a=b，
∵ab=4，
∴a=b=2，
∴OA=3-2=1，
即点A的坐标是（1，0）；
（3）设D（x，0），则OD=|x|，
由（2）可知C（-2，2），
∴OC=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（x+2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4x+8}$，
∵△OCD为等腰三角形，
∴有CO=CD、CO=OD和CD=OD三种情况，
①当CO=CD时，则2$\sqrt{2}$=$\sqrt{{x}^{2}+4x+8}$，解得x=0（舍去）或x=-4，此时D点坐标为（-4，0）；
②当CO=OD时，则2$\sqrt{2}$=|x|，解得x=2$\sqrt{2}$或x=-2$\sqrt{2}$，此时D点坐标为（2$\sqrt{2}$，0）或（-2$\sqrt{2}$，0）；
③当CD=OD时，则$\sqrt{{x}^{2}+4x+8}$=|x|，解得x=-2，此时D点坐标为（-2，0）；
综上可知D点坐标为（-4，0）或（2$\sqrt{2}$，0）或（-2$\sqrt{2}$，0）或（-2，0）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象上点的坐标满足函数解析式，在（2）中构造三角形全等求得C点坐标是解题的关键，在（3）中设出D点坐标，表示出OD、CD和OC的长，得到关于D点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．