分析 (1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、B点坐标,根据顶点坐标的定义,可得D点坐标,根据待定系数法,可得答案;
(2)根据平行于BC且与抛物线相切,可得过P点平行BC的直线,根据解方程组,可得P点坐标,根据解方程组,可得F点坐标,根据相似三角形的性质,可得答案;
(3)根据平移的性质,可得直线MN的解析式,根据全等三角形的判定与性质,可得关于b的方程,根据解方程,可得b,根据b的值,可得OM的长,可得EG的长,从而得出答案.
解答 解:(1)在$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$中,
令y=0,则-$\frac{1}{2}$x2+2x+$\frac{5}{2}$=0,
解得:x1=-1.x2=5,
则A的坐标是(-1,0),B的坐标是(5,0).
抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$的对称轴是x=2,
把x=2代入解析式得y=$\frac{9}{2}$,则D的坐标是(2,$\frac{9}{2}$).
设直线BD的解析式是y=kx+b,
根据题意得:$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{2k+b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$,
则直线BD的解析式是y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$;
(2)连接BC,如图2,
$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$中,令x=0,则y=$\frac{5}{2}$,则C的坐标是(0,$\frac{5}{2}$).
设BC的解析式是y=mx+n,
则$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{5}{2}}\\{5m+n=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{5}{2}}\\{m=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
则直线BC的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$.
设与BC平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+d.
则-$\frac{1}{2}$x2+2x+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$x+d,
即x2-5x+(2d-10)=0,
当△=0时,x=$\frac{5}{2}$,
代入$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$中得:y=$\frac{35}{8}$,
则P的坐标是($\frac{5}{2}$,$\frac{35}{8}$).
又∵C的坐标是(0,$\frac{5}{2}$),
设CP的解析式是y=ex+f,则$\left\{\begin{array}{l}{f=\frac{5}{2}}\\{\frac{5}{2}e+f=\frac{35}{8}}\end{array}\right.$
解得:$\left\{\begin{array}{l}{f=\frac{5}{2}}\\{e=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$,
则直线CP的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$.
根据题意得:$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{20}{9}}\\{y=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$,
则F的坐标是($\frac{20}{9}$,$\frac{25}{6}$).
则$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DG}{GE}$=$\frac{\frac{9}{2}-\frac{25}{6}}{\frac{25}{6}}$=$\frac{2}{25}$;
(3)假设存在.
设BK的解析式是y=kx+b,
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{5}}\\{b=-2}\end{array}\right.$,
则直线BK的解析式是y=$\frac{2}{5}$x-2,
MN的解析式为y=$\frac{2}{5}$x+b,
当y=0时,x=-$\frac{5}{2}$b,即M(-$\frac{5}{2}$b,0),ME=-$\frac{5}{2}$b-2.
当x=0时,y=b,即N(0,b).
△GMN是以MN为腰的等腰直角三角形分两种情况:
①MG=MN,∠GMN=90°,如图3所示.
∵∠MGE+∠GME=90°,∠GME+∠EMN=90°,
∴∠MGE=∠OMN.
在△GME和△MNO中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠MGE=∠NMO}\\{∠MEG=∠NOM}\\{MG=MN}\end{array}\right.$,
∴△GME≌△MNO(AAS),
∴ME=ON,EG=OM,
即-$\frac{5}{2}$b-2=-b.
解得b=-$\frac{4}{3}$.
EG=OM=-$\frac{5}{2}$b=$\frac{10}{3}$,
G点的坐标为(2,$\frac{10}{3}$);
同理:当点M在x轴负半轴时,G点的坐标为(2,-$\frac{10}{7}$);
②NG=MN,∠GNM=90°,过点N作NF⊥抛物线对称轴与点F,如图4所示.
∵∠ONG+∠MNO=90°,∠ONG+∠GNF=90°,
∴∠MNO=∠GNF.
在△GNF和△MNO中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠MNO=∠GNF}\\{∠MON=∠GFN}\\{NG=MN}\end{array}\right.$,
∴△GNF≌△MNO(AAS),
∴NF=ON,FG=OM,
即2=b.
FG=OM=|-$\frac{5}{2}$b|=5,EG=FG-ON=3,
G点的坐标为(2,-3);
同理:当点N在y轴负半轴时,EG=FG+ON=7,
即G点的坐标为(2,-7).
综上可知:在抛物线的对称轴上存在点G,使得△GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形,点G的坐标为(2,-7)、(2,-3)、(2,-$\frac{10}{7}$)或(2,$\frac{10}{3}$).
点评 本题考查了二次函数综合题,(1)利用自变量与函数值的对应关系,得出A、B点坐标是解题关键,又利用待定系数法求函数解析式;(2)利用平行BC且与抛物线相切得出P点坐标是解题关键,利用相似三角形的性质便于得出答案;(3)利用平移的性质得出MN的解析式是解题关键,又利用全等三角形的性质得出关于b的方程.
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A. | (1)与(2) | B. | (1)与(3) | C. | (2)与(3) | D. | 全正确 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | 3 | D. | $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | y2>y1>y3 | B. | y3>y1>y2 | C. | y2>y3>y1 | D. | y1>y3>y2 |
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