Question

9．正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC上，∠ABE=∠CBF=15°，G是AD上另一点，且∠BGD=120°，连接EF、BG、FG、EF、BG交于点H，则下面结论：①DE=DF；②△BEF是等边三角形；③∠BGF=45°；④BG=EG+FG中，正确的是①②④（请填番号）

Answer 1

分析 ①正确．由△BAE≌△BCF，推出AE=CF，即可证明．
②正确．由△BAE≌△BCF，推出BE=BF，再证明∠EBF=60°即可证明．
③错误．由△EHG∽△BHF，推出$\frac{EH}{BH}$=$\frac{HG}{HF}$，推出$\frac{EH}{HG}$=$\frac{BH}{HF}$又∠EHB=∠GHF，推出△EHB∽△GHF，即可推出∠BEH=∠BGF=60°．
④正确．只要证明△BFM≌△EFG，即可解决问题．

解答 证明：连接BD，在BG上取一点M，使得GM=GF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=AD=CD，∠ABC=∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
在△BAE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBF}\\{AB=CB}\\{∠A=∠C}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCF，
∴BE=BF，AE=CF，
∴DE=DF，故①正确，
∵∠ABE=∠CBF=15°，
∠EBF=60°，
∴△EBF是等边三角形，故②正确，
∵∠BGD=120°，
∴∠EGH=∠HFB=60°，
∵∠EHG=∠BHF，
∴△EHG∽△BHF，
∴$\frac{EH}{BH}$=$\frac{HG}{HF}$，
∴$\frac{EH}{HG}$=$\frac{BH}{HF}$，∵∠EHB=∠GHF，
∴△EHB∽△GHF，
∴∠BEH=∠BGF=60°，故③错误，
∵GM=GF，
∴△GMF是等边三角形，
∴FM=FG，∠MFG=∠BFE=60°，
∴∠BFM=∠EFG，∵BF=FE，
∴△BFM≌△EFG，
∴BM=EG，
∴GB=GM+BM=GF+EG，故④正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．