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观察下列各式:
1+
1
3
=2
1
3
2+
1
4
=3
1
4
3+
1
5
=4
1
5
,….
(1)你能发现上述式子有什么规律吗?请你将猜想到的规律用含自然数n(n为正整数)的代数式表示出来为:
 

(2)请你运用所发现的规律,写出第9个式子;
(3)请你验证所发现的规律.
分析:(1)此题应先观察列举出的式子,可找出它们的一般规律,用含有n的式子表示出来即可;
(2)将n=9代入所求规律代数式,即可解决问题;
(3)将等式左边被开方数进行通分,把被开方数的分子开方即可.
解答:解:(1)上述式子的规用含自然数n(n为正整数)的代数式可表示为:
n+
1
n+2
=(n+1)
1
n+2
(n为正整数)

(2)当n=9时,可得到第9个式子为:
9+
1
11
=10
1
11

(3)∵左边=
n(n+2)+1
n+2
=
n2+2n+1
n+2
=
(n+1)2
n+2
=(n+1)
1
n+2
=右边.
n+
1
n+2
=(n+1)
1
n+2
点评:本题主要考查学生把特殊归纳到一般的能力及二次根式的化简,解题的关键是仔细观察,找出各式的内在联系解决问题.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

探索规律
观察下列各式及验证过程:n=2时有式①:
2
3
=
2+
2
3
n=3时有式②:
3
8
=
3+
3
8

式①验证:
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

式②验证:
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

(1)针对上述式①、式②的规律,请写出n=4时的式子;
(2)请写出满足上述规律的用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并加以验证.

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科目:初中数学 来源: 题型:

猜想、探索规律
(1)某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验;第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒,按此规律,那么请你推测第100组应该有种子数.
 
粒;
(2)已知a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
3
a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
8
a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
15
,…
,依据上述规律,则a99=
 

(3)下图是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,…,那么第101个图案中由
 
个基础图形组成;
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(4)观察下列各式:
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4
,…,根据观察计算:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009

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科目:初中数学 来源: 题型:

8、观察下列各式,1×3=22-1;3×5=42-1;5×7=62-1;7×9=82-1;…由此,想到此例包含的规律可以用下式(  )表示.

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科目:初中数学 来源: 题型:

24、观察下列各式:2×4=32-1,3×5=42-1,4×6=52-1,…,10×12=112-1,…,将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来:
n(n+2)=(n+1)2-1

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科目:初中数学 来源: 题型:

14、观察下列各式:
(1)1=12;(2)2+3+4=32;(3)3+4+5+6+7=52;(4)4+5+6+7+8+9+10=72; …
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是(  )

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