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如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,E为BC中点,连ED.
(1)求证:ED是⊙O的切线;
(2)若⊙O半径为3,ED=4,求AB长?
(1)证明:
方法一:连接OD,OE,CD,
∵∠ADC=90°,
∴∠CDB=90°,
∵E是BC的中点,
∴DE=CE,
∴∠EDC=∠ECD,
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=90°,
即OD⊥ED,
∴ED与⊙O相切.
方法二:连接OE,OD,
∵E是BC的中点,∠BDC=90°,
∴DE=CE,
又∵OD=OC,OE=OE,
∴△ODE≌△OCE,
∴∠ODE=∠OCE=90°,
即OD⊥ED,
∵D在⊙O上,
∴ED与⊙O相切.

(2)∵⊙O半径为3,即OC=3,ED=4,
∴CE=ED=4,
∴OE=
CE2+OC2
=5,
∵E为BC中点,OC=OA,
∴OE为△ACB的中位线,
∴OE=
1
2
AB,
∴AB=10.
答:AB长为10.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于E,AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,交⊙O于F,连接AE、EF.
(1)求证:AE是∠BAC的平分线;
(2)若∠ABD=60°,则AB与EF是否平行?请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,已知AD为⊙O的切线,⊙O的直径是AB=2,弦AC=1,则∠CAD=______度.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,已知PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,PA=6
2
,PB=BC,⊙O的半径OC=5,那么弦BC的弦心距OM=______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,PA、PB是⊙O的切线,切点为A、B,若OP=4,PA=2
3
,则∠AOB的度数为(  )
A.60°B.90°C.120°D.无法确定

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,PA,PB是⊙O的切线,切点分别为A,B,且∠APB=50°,点C是优弧
AB
上的一点,则∠ACB的度数为______度.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4cm,以点C为圆心,以3cm长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,PA,PB分别切⊙O于点A和点B,C是
AB
上任一点,过C的切线分别交PA,PB于D,E.若⊙O的半径为6,PO=10,则△PDE的周长是(  )
A.16B.14C.12D.10

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,sinB=
3
5
,若以C为圆心,R为半径所得的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的取值范围是(  )
A.R=4.8B.R=4.8或6≤R≤8
C.R=4.8或6≤R<8D.R=4.8或6<R≤8

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