Question

已知关于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer 1

解：（1）判别式△=（2m-1）²-4m（m-2）
=4m²-4m+1-4m²+8m
=4m+1
∵m＞0
∴4m+1＞0
所以方程有两个不相等的实数根．

（2）由韦达定理得
x₁+x₂=
x₁x₂=
所以（x₁-3）（x₂-3）=5m
x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m
-3×+9=5m
两边同时乘以m并化简
m-2-6m+3+9m=5m²
5m²-4m-1=0
（5m+1）（m-1）=0
解得m=1或m=-（舍去）
经检验m=1是方程的根．
所以m的值是1．
分析：（1）只需证明根的判别式恒大于0即可．
（2）把等号左边整理（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9，再把一元二次方程根与系数的关系代入列出方程解则可．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．