Question

【题目】如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．

（1）求抛物线M2的解析式；

（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；

（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+10x﹣18；（2）4，6；（3）定值1，见解析

【解析】

（1）先将抛物线M1：y=-x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式；
（2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值；
（3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出的值为1．

解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18；

（2）∵抛物线M1与M2交于点B，

∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18，

解得，x＝3，

∴B（3，3），

将点B（3，3）代入y＝kx，

得，k＝1，

∴yOB＝x，

∵抛物线M2与直线OB交于点C，

∴x＝﹣x2+10x﹣18，

解得，x1＝3，x2＝6，

∴C（6，6），

∵点P的横坐标为m，

∴点P（m，﹣m2+4m），

则Q（m，﹣m2+10m﹣18），

∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，

∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m）

＝﹣3m2+27m﹣54，

＝﹣3（m﹣）2+，

在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时，

x1＝0，x2＝4，

∴A（4，0），

∵B（3，3），

∴3≤m≤4，

∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6；

（3）的值是定值1，理由如下：

设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，

则yEH＝x﹣k，

∴令x﹣k＝﹣x2+4x，

解得，x1＝，x2＝，

∴xF＝，xE＝，

令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18，

解得，x1＝，x2＝，

∴xH＝，xG＝，

∴ME＝xG﹣xE＝﹣＝3，

FN＝xH﹣xF＝＝3，

分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q，

则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°，

∴△GEM∽△HFN，

∴＝＝＝1，

∴的值是定值1．