Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与反比例函数的图象交于A（a，-3），与y轴交于点B．
（1）试确定反比例函数的解析式；
（2）若∠ABO=135°，试确定二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，将二次函数y=ax²+bx+c的图象先沿x轴翻折，再向右平移到与反比例函数的图象交于点P（x，6）．当x≤x≤3时，求平移后的二次函数y的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，然后解方程求出a的值，代入反比例函数解析式整理即可；
（2）过点A作AC⊥y轴于C，根据∠ABO=135°求出∠ABC=45°，再根据等角对等边的性质得到BC=AC=1，然后求出OB的长度，从而可得点B的坐标，再把点A的坐标代入二次函数解析式求出b的值，从而得到二次函数的解析式；
（3）先求出翻折平移后的二次函数解析式，再把点P的坐标代入反比例函数解析式求出点P的坐标，然后把点P的坐标代入并求出二次函数解析式，然后根据二次函数图象的增减性分段求出y的取值范围，从而得解．
解答：解：（1）∵A（a，-3）在y=的图象上，
∴=-3，
解得a=-1，
∴y==，
∴反比例函数的解析式为y=；

（2）过A作AC⊥y轴于C．
∵A（-1，-3），
∴AC=1，OC=3，
∵∠ABO=135°，
∴∠ABC=45°，
可得BC=AC=1，
∴OB=2，
∴B（0，-2），
由抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于B，得c=-2．
∵a=-1，
∴y=-x²+bx-2，
∵抛物线过A（-1，-3），
∴-1-b-2=-3，
∴b=0，
∴二次函数的解析式为y=-x²-2；

（3）将y=-x²-2的图象沿x轴翻折，得到二次函数解析式为y=x²+2，
设将y=x²+2的图象向右平移后的二次函数解析式为y=（x-m）²+2（m＞0），
∵点P（x，6）在函数y=上，
∴6=，
解得x=，
∴y=（x-m）²+2的图象过点P（，6），
∴（-m）²+2=6，
解得m₁=，m₂=-，（不合题意，舍去），
∴平移后的二次函数解析式为y=（x-）²+2，
∵a=1＞0，
∴①当≤x≤时，2≤y≤6，
②当＜x≤3时，2＜y≤，
∴当≤x≤3时，2≤y≤6，
∴平移后的二次函数y的取值范围为 2≤y≤6．
点评：本题是对反比例函数的综合考查，主要有待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，函数图象的平移，以及二次函数图象的增减性，综合性较强，难度较大，特别是第（3）小题，求出点P的坐标是解题的关键．