Question

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．

Answer 1

分析 （1）点A、B、C的坐标已知，只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）由四边形POP′B为菱形可得PO=PB，从而有∠POB=∠PBO．由点Q在抛物线的对称轴上可得QA=QB，从而有∠QAB=∠QBA．由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA，从而可得点Q、P、B共线．由PO=PB可得点P在OB的垂直平分线上，从而可得x_P=$\frac{3}{2}$，代入抛物线即可求出点P的坐标，设直线PB的解析式为y=mx+n，运用待定系数法就可求出直线PB的解析式．由抛物线的对称轴方程可得到点Q的横坐标，代入直线PB的解析式，即可得到点Q的坐标；
（3）观察图象，易知△QAB与△POB位似，位似中心即为点B，由此可得到位似中心的坐标．

解答 解：（1）∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△QAB与△POB相似，如图所示．
∵四边形POP′B为菱形，
∴PO=PB，
∴∠POB=∠PBO．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴QA=QB，
∴∠QAB=∠QBA．
由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA，
∴点Q、P、B共线．
∵PO=PB，
∴点P在OB的垂直平分线上，
∴x_P=$\frac{3}{2}$，
此时y_P=-（$\frac{3}{2}$）²+2×$\frac{3}{2}$+3=$\frac{15}{4}$，
点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
设直线PB的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{\frac{3}{2}m+n=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$．
∴直线PB的解析式为y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{15}{2}$．
∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∴x_Q=1，y_Q=-$\frac{5}{2}$×1+$\frac{15}{2}$=5，
∴点Q的坐标为（1，5）
根据对称性点Q坐标还可以为（1．-5）．
（3）△QAB与△POB位似，位似中心为点B，点B的坐标为（3，0）．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式及直线的解析式、抛物线的对称性、菱形的性质、相似三角形的性质、图形的位似等知识，证到点Q、P、B共线是解决第（2）小题的关键．