Question

如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O直径，将△BCD沿BD所在的直线翻折后，得到点C的对应点N仍在⊙O上，BN交AD与点M．若∠AMB=60°，⊙O的半径是3cm．
（1）求点O到线段ND的距离；
（2）过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点O作OG⊥ND于点G，OG∥BN，由矩形ABCD，可知∠N=∠C=90°=∠OGD，再解直角三角形OGD，求出OG．
（2）先判断是相切然后再证明，连接OA交BN与H，由翻折得∠DBC=∠DBN，求出∠GOD，再证明△ABO是正三角形，最后证明OA⊥EF．
解答：解：（1）过点O作OG⊥ND于点G
∴∠OGD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
由翻折得
∠N=∠C=90°=∠OGD，
∴OG∥BN，
∵∠AMB=60°，
∴∠BMD=120°，
易证：△ABM≌△NDM，
∴MB=MD，
∴∠NBD=30°，
∴∠GOD=30°，
在Rt△OGD中，cos30°=，OD=3，
∴OG=（cm）

（2）相切．
证明：连接OA交BN与H，
∵∠DBN=30°，
由翻折得∠DBC=∠DBN=30°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=60°，
∵OA=OB，
∴△ABO是等边三角形．
∴∠AOB=60°，
∴∠BHO=90°，
又∵EF∥BN，
∴∠FAH=90°，
∴OA⊥EF．
∴EF与⊙O相切．
点评：本题考查到切线的判定、折叠问题和矩形的性质，正确的添加辅助线是关键，只有作好辅助线才能使解题更加轻便．