Question

【题目】如图：已知抛物线与轴，轴分别交于点，此抛物线的对称轴为直线 ．

求出此抛物线的解析式；

如图 1，抛物线的顶点为点，点是直线下方抛物线上的一点（异于点），当时，求出点的坐标；

在的条件下，将抛物线沿射线方向平移，点的对应点为，在抛物线平移的过程中，若，请直接写出此时平移后的抛物线解析式

Answer 1

【答案】（1）；（2）；新抛物线解析式为新抛物线解析式为或．

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴和A、C两点的坐标即可求出结论；

（2）先求出点D的坐标，过点作直线交抛物线于点，根据平行线的距离处处相等可得此时，利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后求出直线DP的解析式，然后联立方程即可求出点P的坐标；

（3）根据点P′与BC的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用待定系数法求出各个直线的解析式，联立方程即可求出点P′的坐标，从而求出平移方式，然后即可求出新抛物线的解析式．

由题抛物线对称轴为直线 且过点

得，

抛物线解析式为

由题抛物线的顶点

过点作直线交抛物线于点，根据平行线的距离处处相等可得此时

利用对称性可知点B的坐标为（5,0）

设直线BC的解析式为y=kx＋d

将代入，得

解得：

设直线DP的解析式为y=x＋e

将点D的坐标代入，得

解得：e=-11

则

解得：（舍去），

若点P′在BC右侧时，作∠ECB=∠PBC交BP与点E，过点P作PP′∥DC交EC于P′，连接OE，如下图所示，易知点P′符合条件

∴EB=EC

∵OB=OC=5，

∴OE垂直平分BC

∴∠BOE=∠BOC=45°，即点E在∠BOC的角平分线上

∴可设E点的坐标为（m，-m）

设直线BP的解析式为y=k1x＋b1

将点B、P的坐标代入，可得

解得：

∴直线BP的解析式为y=4x-20

将点E的坐标代入可得-m=4m-20

解得：m=4

∴点E的坐标为（4，-4）

同理可得CE的解析式为y=x-5

直线CD的解析式为y=-2x-5

直线PP′的解析式为y=-2x-2

联立

解得：

∴点P′（）

∴点到点P′（）的平移方式为先向左平移个单位长度，在向上平移个单位长度

原抛物线的解析式为

∴新抛物线解析式为

若点P′在BC左侧时，作CP′∥BP，PP′∥CD，CP′与PP′交于点P′，如下图所示，此时

由上可知：直线BP的解析式为y=4x-20，可得直线CP′的解析式为y=4x-5

直线PP′的解析式为y=-2x-2

联立

解得：

∴点P′（）

∴点到点P′（）的平移方式为先向左平移个单位长度，在向上平移5个单位长度

原抛物线的解析式为

∴新抛物线解析式为

综上：新抛物线解析式为或