Question

已知点A（-1，-1）在抛物线y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1上，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，
（1）求k的值和点B的坐标；
（2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点B的直线？如果存在，求出符合条件的直线的解析式；如果不存在，简要说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意，将x=-1，y=-1，代入抛物线的解析式，得
（k²-1）×（-1）²-2（k-2）×（-1）+1=-1
解得k₁=1，k₂=-3．
由于k²-1≠0，所以k=-3．
抛物线的解析式是y=8x²+10x+1，
对称轴为直线x=-，
∵点B和点A（-1，-1）关于直线x=-对称，
∴B（-）．

（2）存在．
理由如下：
设经过点B的直线的解析式是y=mx+n，将B点坐标代入得m-4n=4．①
又∵要使直线与抛物线只有一个公共点，
只要使方程mx+n=8x²+10x+1有两个相等的实数根，
方程mx+n=8x²+10x+1
整理得，8x²+（10-m）x+1-n=0，
得△=（10-m）²-32（1-n）=0②
将①代②，解出，m=6，n=，
则它的解析式是y=6x+．
又有过点B，平行于y轴的直线与抛物线仅有一个公共点，
即x=-．
答：直线的解析式y=6x+或x=-．
分析：（1）将A点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得k的值；从而确定抛物线的解析式和对称轴方程，根据A、B关于抛物线的对称轴对称，即可得到点B的坐标；
（2）若直线与抛物线只有一个公共点，可考虑两种情况：
①此直线存在斜率时，可设出直线的解析式为y=mx+n，然后将B点坐标代入此直线的解析式中即可得到m、n的关系式；联立抛物线的解析式，消去y后可得到关于x的方程，若两函数只有一个交点，那么方程的△=0，可得到另一个关于m、n的关系式，联立两式即可求出m、n的值，由此确定该直线的解析式；
②此直线与y轴平行且经过点B，此时直线没有斜率，根据B点的坐标即可得到直线的解析式．
点评：此题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法；要注意的是（2）题中，一条直线与抛物线只有一个交点时，可以有两种情况（①经过交点且与y轴平行；②不与y轴平行，联立抛物线解析式所得方程只有一个实数根），不要漏解．