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    （2013•青羊区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴的正半轴交于点C（0，3）．已知该抛物线的顶点横坐标为1，A、B两点间的距离为4．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）求△ABC外接圆的圆心M的纵坐标；
    （3）在抛物线上是否存在一点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），所以A和B关于抛物线的对称轴对称，于是
    x1+x2
    2
    =1①；又因为A、B两点间的距离为4，且x1＜x2，所以x2-x1=4②，将①②组成方程组，解出x1，x2的值，再将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
    （2）根据三角形外心的定义可知MA=MB=MC，由MA=MB及A、B两点的坐标，得出圆心M的横坐标为1，设M（1，y），根据MA=MC列出方程，即可求出M的纵坐标；
    （3）设PD与BM的交点为E，分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=
    1
    3
    PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的
    1
    3
    ，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），且抛物线顶点的横坐标为1，
    ∴
    x1+x2
    2
    =1，即x1+x2=2①；
    又∵A、B两点间的距离为4，且x1＜x2，
    ∴x2-x1=4②，
    ①与②组成方程组
    x1+x2=2
    x2-x1=4
    ，
    解得
    x1=-1
    x2=3
    ，
    ∴A（-1，0），B（3，0）．
    把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c，
    得
    a-b+c=0
    9a+3b+c=0
    c=3
    ，
    解得
    a=-1
    b=2
    c=3
    ，
    ∴函数解析式为y=-x2+2x+3；

    （2）∵△ABC外接圆的圆心是M，
    ∴MA=MB=MC，M点在线段AB的垂直平分线上，
    ∵A（-1，0），B（3，0），
    ∴M的横坐标为：
    -1+3
    2
    =1．
    设M（1，y），由MA=MC，
    得（1+1）2+y2=12+（y-3）2，
    解得y=1．
    故△ABC外接圆的圆心M的纵坐标为1；

    （3）在抛物线上存在一点P，能够使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2的两部分．理由如下：
    设PD与BM的交点为E，可求直线BM解析式为y=-
    1
    2
    x+
    3
    2
    ，
    设P（x，-x2+2x+3），分两种情况：
    ①当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，如图．
    则-x2+2x+3=3（-
    1
    2
    x+
    3
    2
    ），
    整理，得2x2-7x+3=0，
    解得x=
    1
    2
    或3，
    ∴
    x=
    1
    2
    y=
    15
    4
    或
    x=3
    y=0
    （舍去），
    ∴P（
    1
    2
    ，
    15
    4
    ）；
    ②当S△PBE：S△BED=1：2时，2PD=3DE，如图．
    则2（-x2+2x+3）=3（-
    1
    2
    x+
    3
    2
    ），
    整理，得4x2-11x-3=0，
    解得x=-
    1
    4
    或3，
    ∴
    x=-
    1
    4
    y=
    39
    16
    或
    x=3
    y=0
    （舍去），
    ∴P（-
    1
    4
    ，
    39
    16
    ）．
    故在抛物线上存在点P（
    1
    2
    ，
    15
    4
    ）或P（-
    1
    4
    ，
    39
    16
    ），使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2的两部分．
    点评：此题是二次函数的综合类题目，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的外心，两点间的距离公式以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大，（3）中进行分类讨论是解题的关键．
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    1
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    （2）若（x，y）表示平面直角坐标系的点，求点（x，y）在y=-
    2x
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