Question

18．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在射线BC上运动，点P和点P′关于BD对称，当P′、P、D三点共线时运动停止，连接DP′、DP．设BP=x．
（1）当x为何值时，P′落在AD上；
（2）如果四边形BP′DP与矩形ABCD重合部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：首先证明BP=BP′=P′D=x，则AP′=4-x．然后在Rt△AP′B中，依据勾股定理列方程求解即可；
（2）当点P′在矩形的内部时S_△PBD=S_△P′BD，然后依据S=S_△PBD+S_△P′BD=2S_△PBD求解即可；当点P′在矩形的外部，点P在BC上时，由S=S_△BDE+S_△BDP求解即可；当点P在BC的延长线上时，由S=S_△BDE+S_△BDC求解即可．

解答 解：（1）如图1所示：

∵点P′与点P关于BD对称，
∴∠PBD=∠P′BD，BP=BP′．
∵AD∥BC，
∴∠PBD=∠ADB．
∴∠P′DB=∠P′BD，
∴P′D=P′B．
设BP=x，则BP′=P′D=x，AP′=4-x．
在Rt△AP′B中，依据勾股定理可知：3²+（4-x）²=x²．
解得：x=$\frac{25}{8}$．
∴当x=$\frac{25}{8}$时，P′落在AD上；
（2）如图2所示：

∵点P′与点P关于BD对称，
∴S_△PBD=S_△P′BD．
∴S=S_△PBD+S_△P′BD=2S_△PBD=2×$\frac{1}{2}$BP•DC=3x（0≤x＜$\frac{25}{8}$）．
如图3所示：

由（1）可知：DE=$\frac{25}{8}$．
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$DE•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{8}$×3=$\frac{75}{16}$．
S_△BDP=$\frac{1}{2}$BP•DC=$\frac{3}{2}$x．
∴S=S_△BDE+S_△BDP=$\frac{3}{2}$x+$\frac{75}{16}$（$\frac{25}{8}$≤x＜4）．
如图4所示：

S=S_△BDE+S_△BDC=$\frac{75}{16}$+$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{171}{16}$．
在Rt△BCD中，依据勾股定理可知：BD=5．
∵当P′、P、D三点共线时运动停止，
∴点P′、D、P共线．
∵点P′与点P关于BD对称，
∴DP′=DP，BP′=BP，
∴BD⊥P′P．
∵∠DBC=∠DBP，∠DCB=∠BDP，
∴△BCD∽△BDP．
∴BP=$\frac{B{D}^{2}}{BC}$=$\frac{25}{4}$．
∴当4≤x≤$\frac{25}{4}$时，S=$\frac{171}{16}$．
综上所述，S与x的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{3x（0≤x＜\frac{25}{8}）}\\{\frac{3}{2}x+\frac{75}{16}（\frac{28}{5}≤x＜4）}\\{\frac{171}{16}（4≤x≤\frac{25}{4}）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键．