分析 (1)根据直线y=kx+2与y轴交于点D,求出点D的坐标,根据tan∠DBO=$\frac{1}{2}$,求出点B的坐标,再根据$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{0=16a+\frac{7}{2}×4+c}\end{array}\right.$,求出抛物线解析式,根据直线y=kx+2过点B,得出0=4k+2,求出k即可;
(2)设EF与x轴交与点M,先求出EF=-t2+4t,得出S四边形DOEF=$\frac{1}{2}$×[2+(-t2+4t)]×t,S△EFD=$\frac{1}{2}$×(-t2+4t)×t,再根据S四边形DOEF=$\frac{3}{2}$S△EFD,
求出t,最后求出EM,即可得出OE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$;
(3)根据点E、F的坐标得出EN=-$\frac{1}{2}$t+2,FN=-t2+$\frac{7}{2}$t+2),
①当DE=DF时,连结DQ,交EF于点M,若D、E、F、Q为顶点作菱形则EM=FM,再根据EM=$\frac{1}{2}$t,FM=-t2+$\frac{7}{2}$t得出$\frac{1}{2}$t=-t2+$\frac{7}{2}$t,求出t后,再求出EN即可得出点E的坐标;
②当DE=DF时,连结DQ,交EF于点M,若D、E、F、Q为顶点作菱形,求出DB=2$\sqrt{5}$,根据$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BN}{BO}$,求出BE、DE,从而求出EF,再根据-t2+4t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t求出t,得出EN,即可求出点E的坐标;
③当DF=EF时,过D作DG⊥EF于G,若D、E、F、Q为顶点作菱形,则DG=t,FG=-t2+$\frac{7}{2}$t,根据DF2=t4-7t3+$\frac{53}{4}$t2,EF2=16t2-8t3+t4得出t4-7t3+$\frac{53}{4}$t2=16t2-8t3+t4,求出t,得出EN即可求出点E的坐标.
解答 解:(1)∵直线y=kx+2与y轴交于点D,
∴点D的坐标是(0,2),
∵tan∠DBO=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{DO}{BO}$=$\frac{1}{2}$,
∴BO=4,
∴点B的坐标是(4,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{0=16a+\frac{7}{2}×4+c}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a=-1}\end{array}\right.$,
∴抛物线解析式是y=-x2+$\frac{7}{2}$x+2
∵直线y=kx+2过点B,
∴0=4k+2
k=-$\frac{1}{2}$,
∴直线DB解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+2;
(2)如图1,设EF与x轴交与点M,
∵垂直x轴的直线x=t与线段DB交于点E,与抛物线交于点F,
∴点E、F的坐标是(t,-$\frac{1}{2}$t+2),(t,-t2+$\frac{7}{2}$t+2),
∴EF=(-t2+$\frac{7}{2}$t+2)-(-$\frac{1}{2}$t+2)=-t2+4t,
∴S四边形DOEF=$\frac{1}{2}$×[2+(-t2+4t)]×t,
S△EFD=$\frac{1}{2}$×(-t2+4t)×t,
∵S四边形DOEF=$\frac{3}{2}$S△EFD,
∴$\frac{1}{2}$×[2+(-t2+4t)]×t=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×(-t2+4t)×t,
∴t=2,
∴EM=-$\frac{1}{2}$×2+2=1,
∴OE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$;
(3)∵点E、F的坐标是(t,-$\frac{1}{2}$t+2),(t,-t2+$\frac{7}{2}$t+2),
∴EN=-$\frac{1}{2}$t+2,FN=-t2+$\frac{7}{2}$t+2,
①如图2,当DE=DF时,连结DQ,交EF于点M,若D、E、F、Q为顶点作菱形则EM=FM,
∵EM=2-EN=2-(-$\frac{1}{2}$t+2)=$\frac{1}{2}$t,
FM=FN-2=(-t2+$\frac{7}{2}$t+2)-2=-t2+$\frac{7}{2}$t,
∴$\frac{1}{2}$t=-t2+$\frac{7}{2}$t,
t1=0(舍去),t2=3,
∴EN=-$\frac{1}{2}$×3+2=$\frac{1}{2}$,
∴点E的坐标是(3,$\frac{1}{2}$);
②如图3,当DE=DF时,连结DQ,交EF于点M,若D、E、F、Q为顶点作菱形,
∵OA=2,OB=4,
∴DB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
∵$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BN}{BO}$,
∴$\frac{BE}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4-t}{4}$,
∴BE=2$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$t,
∴DE=2$\sqrt{15}$-(2$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$t)=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t,
∵EF=(-t2+$\frac{7}{2}$t+2)-(-$\frac{1}{2}$t+2)=-t2+4t,
∴-t2+4t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t,
∴t1=0,t2=4-$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
∴EN=-$\frac{1}{2}$×(4-$\frac{\sqrt{5}}{2}$)+2=$\frac{\sqrt{5}}{4}$,
∴点E的坐标(4-$\frac{\sqrt{5}}{2}$,$\frac{\sqrt{5}}{4}$);
③如图4,当DF=EF时,过D作DG⊥EF于G,若D、E、F、Q为顶点作菱形,
则DG=t,FG=-t2+$\frac{7}{2}$t,
∵DF2=DG2+FG2=t4-7t3+$\frac{53}{4}$t2,
EF2=[-(-t2+$\frac{7}{2}$t+2)-(-$\frac{1}{2}$t+2)]2=16t2-8t3+t4,
∴t4-7t3+$\frac{53}{4}$t2=16t2-8t3+t4,
∴t1=0(舍去),t2=$\frac{11}{4}$,
∴EN=-$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{4}$=2=$\frac{5}{8}$,
∴点E的坐标($\frac{11}{4}$,$\frac{5}{8}$).
点评 此题考查了二次函数的综合,用到的知识点是二次函数的图象与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等,关键是根据题意画出图形,作出辅助线,注意分类讨论.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 121 | B. | 125 | C. | 144 | D. | 148 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com