Question

11．阅读理解应用 
   待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
   待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x³-1．
   因为x³-1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
   故我们可以猜想x³-1可以分解成x³-1=（x-1）（x²+ax+b），展开等式右边得：x³+（a-1）x²+（b-a）x-b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a-1=0，b-a=0，-b=-1，可以求出a=1，b=1．
   所以x³-1=（x-1）（x²+x+1）
（1）若x取任意值，等式x²+2x+3=x²+（3-a）x+s恒成立，则a=1；
（2）已知多项式x⁴+x²+1有因式x²+x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
（3）请判断多项式x⁴-x²+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接对比系数得出答案即可；
（2）设x⁴+x²+1=（x²+ax+1）（x²+x+1），进一步展开对比系数得出答案即可；
（3）设x⁴-x²+1=（x²+ax+1）（x²+bx+1），进一步展开对比系数，系数有解则能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，否则不能．

解答 解：（1）∵x²+2x+3=x²+（3-a）x+s，
∴3-a=2，a=1；
（2）设x⁴+x²+1=（x²+ax+1）（x²+x+1）=x⁴+（a+1）x³+（a+2）x²+（a+1）x+1，
a+1=0，a=-1，
多项式的另一因式是x²-x+1；
（3）能，
∵设x⁴-x²+1=（x²+ax+1）（x²+bx+1）=x⁴+（a+b）x³+（ab+2）x²+（a+b）x+1，
∴a+b=0，ab+2=-1，
解得：a=$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$，则b=-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$，
∴x⁴-x²+1=（x²+$\sqrt{3}$x+1）（x²-$\sqrt{3}$x+1）．

点评 此题考查因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键．