如图1所示.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A两点.与y轴交于C点.D为抛物线的顶点.E为抛物线上一点.且C.E关于抛物线的对称轴对称.分别作直线AE.DE．(1)求此二次函数的关系式,(2)在图1中.直线DE上有一点Q.使得△QCO≌△QBO.求点Q的坐标,(3)如图2.直线DE与x轴交于点F.点M为线段AF上一个动点.有A向F运动.速度为每秒2个单位长度.运动到F� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．如图1所示，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，分别作直线AE、DE．

（1）求此二次函数的关系式；
（2）在图1中，直线DE上有一点Q，使得△QCO≌△QBO，求点Q的坐标；
（3）如图2，直线DE与x轴交于点F，点M为线段AF上一个动点，有A向F运动，速度为每秒2个单位长度，运动到F处停止，点N由F处出发，沿射线FE方向运动，速度为每秒$\sqrt{5}$个单位长度，M、N两点同时出发，运动时间为t秒，当M停止时点N同时停止运动坐标平面内有一个动点P，t为何值时，以P、M、N、F为顶点的四边形是特殊的平行四边形．请直接写出t值．

分析（1）直接利用交点式写出抛物线的解析式；
（2）如图1，利用配方法得到D（2，9），抛物线的对称轴为直线x=2，再确定C（0，5），则E（4，5），接着利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=-2x+13，然后根据全等三角形的性质得到∠COQ=∠BOQ，所以点Q为第一象限角平分线上的点，最后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+13}\end{array}\right.$得Q点的坐标；
（3）如图2，对称轴交x轴于点H，先确定DH=9，FH=$\frac{9}{2}$，DF=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，AF=$\frac{15}{2}$，AM=2t，FN=$\sqrt{5}$t，则FM=$\frac{15}{2}$-2t，分类讨论：当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM、FN为菱形的两邻边，则FN=FM，即$\sqrt{5}$t=$\frac{15}{2}$-2t；当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FN为菱形对角线，连接MP交FN于Q，利用菱形的性质得FQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，再通过得△FQH∽△FHD得到$\frac{\sqrt{5}}{2}$t：$\frac{9}{2}$=（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$；当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM为菱形对角线，NP与MF相交于K，如图3，利用菱形的性质得FK=$\frac{1}{2}$（$\frac{15}{2}$-2t），再通过△FKN∽△FHD得到$\frac{1}{2}$（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$；当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠NMF=90°，通过△FMN∽△FHD得到（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$；当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠MNF=90°，通过△FNM∽△FHD得到（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9}{2}$，然后分别解关于t的方程可确定满足条件的t的值．

解答解：（1）抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-5），即y=-x²+4x+5；
（2）如图1，y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，则D（2，9），抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=0时，y=-x²+4x+5=5，则C（0，5），
∵C、E关于抛物线的对称轴对称，
∴E（4，5），
设直线DE的解析式为y=mx+n，
把D（2，9），E（4，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=9}\\{4m+n=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=13}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-2x+13，
∵△QCO≌△QBO，
∴∠COQ=∠BOQ，
∴点Q为第一象限角平分线上的点，
即OQ的解析式为y=x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+13}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{13}{3}}\\{y=\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，
∴Q点的坐标为（$\frac{13}{3}$，$\frac{13}{3}$）；
（4）如图2，对称轴交x轴于点H，DH=9，FH=$\frac{9}{2}$，DF=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，
当y=0时，-2x+13=0，解得x=$\frac{13}{2}$，则F（$\frac{13}{2}$，0），
∴AF=$\frac{13}{2}$-（-1）=$\frac{15}{2}$，
AM=2t，FN=$\sqrt{5}$t，则FM=$\frac{15}{2}$-2t，
当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM、FN为菱形的两邻边，则FN=FM，即$\sqrt{5}$t=$\frac{15}{2}$-2t，解得t=$\frac{15\sqrt{5}-30}{2}$；
当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FN为菱形对角线，连接MP交FN于Q，则PM与NQ互相垂直平分，FQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，
易得△FQH∽△FHD，
∴FQ：FH=FM：FD，即$\frac{\sqrt{5}}{2}$t：$\frac{9}{2}$=（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，解得t=$\frac{5}{3}$；
当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM为菱形对角线，NP与MF相交于K，如图3，则MF与NP互相垂直平分，FK=$\frac{1}{2}$MF=$\frac{1}{2}$（$\frac{15}{2}$-2t），
易得△FKN∽△FHD，
∴FK：FH=FN：FD，即$\frac{1}{2}$（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，解得t=$\frac{15}{8}$；
当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠NMF=90°，
易得△FMN∽△FHD，
∴FM：FH=FN：FD，即（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，解得t=$\frac{5}{2}$；
当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠MNF=90°，
易得△FNM∽△FHD，
∴FM：FD=FN：FH，即（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9}{2}$，解得t=$\frac{15}{14}$，
综上所述，t的值为$\frac{15\sqrt{5}-30}{2}$或$\frac{5}{3}$或$\frac{15}{8}$或$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{14}$．

点评本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和特殊平行四边形的判定与性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式；会利用相似比列方程；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的数学解决数学问题．

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