已知两等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点B作任意直线分别与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.
(1)试判别△ACD的形状,并证明你的结论成立;
(2)两圆再满足什么条件时,△ACD为等边三角形?(要求:画出图形,并证明)
证明:△ACD为等腰三角形.
(1)∵⊙O
1,⊙O
2为等圆,AB=AB,
∴
=
∴∠C=∠D,
∴AC=AD,
∴△ACD是等腰三角形.
(2)解:当⊙O
1过O
2点时(或⊙O
2过O
1点),△ACD为等边三角形.
证明:∵连接O
1A、O
1O
2、O
2A、O
2B,
∵⊙O
1、⊙O
2是等圆,
∴O
1A=O
1O
2=O
2A,
∴△AO1
O
2是等边三角形,
∴∠AO
1O
2=60°,
又∵AB=2AO
2,
∵∠C=∠AO
1O
2=60°,
又∵AC=AD,
∴△ACD为等边三角形.
分析:(1)根据等圆的定义和圆心角、弧、弦之间的关系得到∠C=∠D,根据等腰三角形性质推出即可;
(2)根据等圆定义得到等边三角形,推出∠AO
1O
2=60°,得到∠C=60°,根据等边三角形的判定即可推出答案.
点评:本题主要考查对相交两圆的性质,圆心角、弧、弦之间的关系,等边三角形的判定,等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.