Question

10．已知，如图，∠E=80°，且$\sqrt{∠B-n-20°}$+（∠D-80°-n）²+|∠F-40°|=0．（n为常数，且0°＜n＜100°）．
（1）求∠B、∠D的度数；（用含n的式子来表示）；
（2）求证：AB∥CD；
（3）若∠B=40°，∠ABP=20°，∠EFP=10°，BP与FP交于点P，则∠BPF=10°或30°或50°或70°．．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质，即可得到∠B-n-20°=0，∠D-80°-n=0，∠F-40°=0，进而得出∠B=n+20°，∠D=n+80°，∠F=40°；
（2）延长AB交DF于G，根据四边形BEFG中，∠FGB=80°+n，∠D=n+80°，即可判定AB∥CD；
（3）分四种情况进行讨论，分别依据四边形内角和、三角形内角和以及三角形外角性质，即可求得∠BPF的度数．

解答 解：（1）∵$\sqrt{∠B-n-20°}$+（∠D-80°-n）²+|∠F-40°|=0，
∴∠B-n-20°=0，∠D-80°-n=0，∠F-40°=0，
解得∠B=n+20°，∠D=n+80°，∠F=40°；

（2）如图，延长AB交DF于G，

∵∠ABE=n+20°，
∴∠EBG=180°-n-20°=160°-n，
又∵∠E=80°，∠F=40°，
∴四边形BEFG中，∠FGB=360°-80°-40°-（160°-n）=80°+n，
又∵∠D=n+80°，
∴AB∥CD；

（3）①如图，由∠ABP=20°，可得∠PBG=160°，
由∠EFP=10°，∠EFD=40°，可得∠PFG=50°，
由∠ABE=n+20°=40°，可得n=20°，故∠AGF=80°+20°=100°，
∴四边形PBGF中，∠P=360°-160°-100°-50°=50°；

②如图，由∠EFP=10°，∠EFD=40°，可得∠PFG=30°，
而∠PBG=160°，∠AGF=100°，
∴四边形PBGF中，∠P=360°-160°-100°-30°=70°；

③如图，由∠∠PFG=30°，∠AGF=100°，可得∠FHG=50°，
又∵∠ABP=20°，
∴∠P=∠FHG-∠ABP=50°-20°=30°；

④如图，由∠PFG=50°，∠FGA=100°，可得∠FHG=30°，
又∵∠ABP=20°，
∴∠P=∠FHG-∠ABP=30°-20°=10°．

综上所述，∠BPF的度数为10°或30°或50°或70°．
故答案为：10°或30°或50°或70°．

点评 本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行；解决问题的关键是画出图形，运用分类思想进行求解．