Question

18．如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF．在不添加辅助线的情况下，请写出与∠AEF相等的所有角∠DCF，∠BCF，∠DFC．

Answer 1

分析 先证明∠DFC=∠BCF，再证明DF=CD，得出∠DFC=∠DCF，连接CF并延长交BA的延长线于G，先证明CF=GF，再由直角三角形斜边上的中线性质得出EF=FC，求出∠EFC=∠FCE，即可得出答案．

解答 解：∠DCF、∠BCF、∠DFC，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∵AD=2AB，F是AD的中点，
∴DF=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∴∠BCF=∠DCF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
连接CF并延长交BA的延长线于G，如图所示：
∵F是AD的中点，AB∥CD，
∴CF=GF，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CG=CF=GF，
∴∠FEC=∠FCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AEF+∠FEC=∠DCF+∠FCE，
∴∠AEF=∠DCF，
即∠AEF=∠DCF=∠DFC=∠BCF，
故答案为：∠DCF、∠BCF、∠DFC．

点评 本题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行有关推理论证是解决问题的关键