Question

【题目】问题探究：三角形的角平分线是初中几何中一条非常重要的线段，它除了具有平分角、角平分线上的点到角两边的距离相等这些性质外，还具有以下的性质：

如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，则＝．提示：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E．

请根据上面的提示，写出得到“”这一结论完整的证明过程．

结论应用：如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，AD平分∠BAC交BC于点D．请直接利用“问题探究”的结论，求线段CD的长．

Answer 1

【答案】问题探究：见解析；结论应用：

【解析】

问题探究：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，可证∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，由角平分线的性质可证AC＝AE，结合平行线分线段成比例定理，即可得结论；

结论应用：由勾股定理可求AB的长，由，可求CD的长．

问题探究：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，

∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠E＝∠ACE，

∴AC＝AE，

∵CE∥AD，

∴，

∴，

结论应用：在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴AB，

设CD的长为x，则BD的长为15﹣x，

∵AD平分∠BAC，

∴

∴

解得：

∴CD的长为：．