Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点M、N是AB上任意两点，且∠MCN=45°，点T为AB的中点．以下结论：①AB=AC；②CM²+TN²=NC²+MT²；③AM²+BN²=MN²；④S_△CAM+S_△CBN=S_△CMN．其中正确结论的序号是

1. A.
   ①②③④
2. B.
   只有①②③
3. C.
   只有①③④
4. D.
   只有②④

Answer 1

B
分析：此题要根据等腰三角形的性质求解，由于△ABC是等腰三角形，显然①的结论是成立的；②题中，可连接CT，利用勾股定理求证；③此题用通过构造全等三角形来求解，过C作∠DCN=∠BCN，且CD=CB，连接DN、DM，通过两步全等来判断结论是否正确；④分别表示出三个三角形的面积，然后判断它们是否符合题目给出的等量关系即可．
解答：解：①∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，故①正确；
②连接CT；
由勾股定理得：CM²-MT²=CT²，NC²-NT²=CT²，
联立两式可得：CM²-MT²=NC²-NT²，即CM²+TN²=NC²+MT²；
故②正确；
③如图，过C作∠NCD=∠BCN，且CD=CB=AC，连接DM、DN；
∵∠DCN=∠BCN，CD=BC，CN=CN，
∴△DCN≌△BCN，得BN=DN，∠NDC=∠B=45°；
∵∠MCN=45°，∠ACB=90°，
∴∠ACM=∠DCM=45°-∠BCN=45°-∠DCN，
又∵AC=DC，CM=CM，
∴△ACM≌△DCM，得DM=AM，∠MDC=∠A=45°；
∴∠MDN=45°+∠45°=90°，
在Rt△MDN中，由勾股定理得：DM²+DN²=MN²，即AM²+BN²=MN²，
故③正确；
④S_△ACM=AM•CT，S_△BNC=BN•CT，S_△MNC=MN•CT，
∵AM+BN≠MN，∴S_△ACM+S_△BCN≠S_△MNC，
故④错误；
因此正确的结论是①②③，故选B．
点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质，难度适中．